18.20. Выражение скорости через вихрь.
Рассмотрим жидкость, заключенную внутри неподвижной оболочки 
и предположим, что в каждой
точке задан вихрь В тех областях жидкости, где движение является безвихревым (если такие области вообще существуют), будем иметь 
Если 
— единичный вектор внутренней нормали для элемента 
поверхности 
то граничное условие имеет вид
Возьмем некоторую точку 
внутри жидкости и будем считать эту точку фиксированной. Скорость в точке 
будем обозначать через а скорость в точке 
любая другая точка в жидкости) — через 
Рассмотрим вектор
где интеграл берется по объему V, заключенному внутри поверхности 
а точка 
остается при этом фиксированной (рис. 325).
Рис. 325.
Здесь при дифференцировании мы будем иногда рассматривать 
как фиксированную точку, 
как переменную, иногда же, наоборот, мы будем рассматривать 
как фиксированную точку, а 
— как переменную. Поэтому временно заменим символ V обозначениями 
или 
в соответствии с тем, какой случай рассматривается. Элементарный объем 
всегда будет 
Тогда, согласно уравнению Пуассона из п. 18.10,
и, следовательно, с помощью формулы (V) из п. 2.32 получим
Но 
не зависит от положения точки 
поэтому
поскольку 
представляет собой скорость в точке 
вызванную единичным стоком, находящимся в точке 
-скорость в точке 
вызванную единичным стоком, находящимся в точке 
Эти две скорости являются равными по величине, но противоположно направленными векторами. Далее, в силу формулы (VI) из п. 2.34 имеем
а из уравнения неразрывности следует, что 
Поэтому
согласно уравнению (1). Значит, равенство (3) дает
где 
представляет собой векторный потенциал, определяемый так:
Таким образом, скорость получается как вихрь от векторного потенциала подобно тому, как в безвихревом течении она получается как градиент от скалярного потенциала скорости.
Найдем векторный потенциал 
По определению и по формуле (VII) из п. 2.34 имеем
Здесь четвертое выражение получено с помощью вторичного применения формулы (VII) из п. 2.34, а последнее — по теореме Гаусса в форме (2) из п. 2.61. Выведенная формула дает выражение векторного потенциала через вихрь и скорость на границе 
