16.30. Две сферы, движущиеся вдоль линии центров.

Рассмотрим две сферы с центрами в точках и радиусами соответственно; пусть эти сферы движутся одна навстречу другой с соответствующими скоростями (рис. 312).

Рис. 312.

Положение некоторой точки в меридиональной плоскости будем определять полярными координатами с полюсом в точке А или полярными координатами с полюсом в точке В. Потенциал скорости должен удовлетворять краевым условиям

следовательно, можно записать

где каждая из функций удовлетворяет уравнению Лапласа и краевым условиям

Таким образом, функция есть потенциал скорости для того случая, когда сфера с центром движется со скоростью, равной единице, по направлению к сфере с центром В, а последняя сфера покоится.

Если бы сфера с центром В отсутствовала, то функция представляла бы собой потенциал скорости, обусловленный диполем, находящимся в точке А, ориентированным по направлению и имеющим мощность Однако наличие сферы с центром В нарушает первое из граничт условий (3).

Чтобы удовлетворить этому условию, введем отображение диполя относительно сферы с центром В, которое представляет собой диполь мощности ориентированный вдоль направления и находящийся в точке связанной с точкой А преобразованием инверсии относительно сферы с центром В. Этот отображенный диполь потребует введения другого отображенного диполя в точке связанной с точкой преобразованием инверсии относительно сферы с центром Таким образом, мы имеем бесконечный ряд отображенных диполей мощности находящихся в точках причем нечетные индексы относятся к точкам внутри сферы с центром В, а четные индексы — к точкам внутри сферы с центром Положим Тогда если обозначить то получим равенства

Уравнения для функций сводятся к конечно-разностному уравнению Риккати, которое в этом случае может быть решено до конца, и тогда можно найти величины

Пользуясь обозначениями, указанными на рис. 312, в результате получаем

Это выражение представляет собой точное решение рассматриваемой задачи, но оно имеет неудобную форму.

Для того чтобы получить приближенное решение с точностью до членов заметим, что при отсутствии сферы с центром В потенциал равен

Применяя разложение в ряд из п. 16.10 и помещая начало координат в точку В, получим, что вблизи сферы с центром В справедливо равенство

Отсюда нормальная скорость на поверхности сферы с центром В равна

Эту нормальную скорость можно уничтожить, добавляя некоторый член к выражению для функции в первом приближении; в результате получим второе приближение для функции

а нормальная скорость на сфере с центром В обращается теперь в нуль с точностью по крайней мере до членов порядка Аналогично с той же точностью получим

Вблизи сферы с центром упомянутое выше разложение в ряд имеет вид

и, следовательно, при

Для определения кинетической энергии имеем

причем указанные интегралы берутся по сферам соответственно. Тогда, используя формулы (2) и (3), получаем

где

По теореме Грина (или путем непосредственного вычисления) получим, что Кроме того, сфере А и, значит,

Таким образом, с точностью до членов имеем

следовательно,

где и массы жидкости, вытесненной соответствующими сферами.