11.60. Поток со свободной поверхностью под действием силы тяжести.

Своободная поверхность является поверхностью, которая всегда состоит из одних и тех же частиц жидкости и вдоль которой давление жидкости постоянно.

В случае двумерного движения такая свободная поверхность является цилиндрической; мы будем рассматривать кривую, представляющую собой сечение этого цилиндра плоскостью движения жидкости.

Пусть кривая С является сечением свободной поверхности. Вид кривой С зависит от времени параметрически эту линию можно представить в виде

где а — действительное значение координаты Лагранжа (см. п. 3.44) для частицы жидкости на кривой С, так что полная производная по времени от совпадает с частной производной по времени от т. е.

Если ускорение силы тяжести, то уравнение движения можно представить в виде

Поскольку вектор перпендикулярен поверхности постоянного давления, то условие постоянства давления на свободной поверхности состоит в том, чтобы вектор был перпендикулярен свободной поверхности.

В случае двумерного движения жидкости это условие равносильно тому, что вектор перпендикулярен кривой С, когда конец вектора находится на кривой С. Так как имеет направление касательной к кривой С, то из формул (2) мы видим, что на линии С имеет место уравнение

где — действительная величина, если а — действительная. Таким образом, самый общий двумерной свободной поверхности может быть представлен формулой (1), где функция для действительных значений а есть решение уравнения (4), которое является дифференциальным уравнением в частных производных параболического типа.

Заметим, что сомножитель указывает направление уменьшения давления.

Определение соответствующего вида функции составляет основную трудность общей задачи (ср. п. 11.63).

Если функция задана, то задача сводится к решению уравнения (4) при определенных граничных условиях. Заметим также, что если функция задана, то уравнение (4) является линейным уравнением относительно Следовательно, решение можно получить с помощью принципа суперпозиции.