19.03. Уравнение движения.

В случае вязкой жидкости уравнение движения выводится по схеме, применявшейся уже в п. 3.41.

Таким образом, рассматривая объем жидкости V, заключенный внутри проведенной в жидкости воображаемой поверхности будем иметь

откуда, применяя теорему Гаусса, находим

Простейший способ вычисления состоит в том, чтобы величину под интегралом выразить по формуле (6) п. 19.02 и затем воспользоваться теоремой Гаусса. Тогда получим

Обозначая легко приведем это уравнение к виду

В случае постоянной вязкости и

а для несжимаемой жидкости и

С другой стороны, воспользовавшись формулой (V) п. 2.32, можем записать последнее уравнение в следующем виде:

Во многих случаях удобнее применять кинематический коэффициент вязкости имеющий размерность Значение этого коэффициента для воды при 15°С равно , а для воздуха Судя по этим стандартным значениям, воздух является более вязким, чем вода.

В случае консервативных массовых сил, используя преобразования из п. 3.43, можно записать уравнение движения (5) следующими способами:

где — потенциал массовых сил.

Из этого уравнения видно, что для установившегося безвихревого движения следовательно, х имеет постоянное значение во всей жидкости.

Форма (8) удобна для преобразования уравнения движения к любой системе ортогональных криволинейных координат с помощью приемов, изложенных в п. 2.72.

В частности, из уравнения (8) для плоского движения в декартовых координатах получим

В этих уравнениях скалярные величины не меняются при замене координат, поэтому здесь можно рассматривать как любые ортогональные криволинейные координаты. Таким образом, в случае полярных координат на плоскости имеем

Выражение для через составляющие скорости при этом будет таково: