2.13. Тройное скалярное произведение.

Если — три вектора, то комбинация называется их тройным скалярным произведением. Это есть скалярное произведение векторов Тройное скалярное произведение равно объему параллелепипеда, построенного на векторах

Рис. 28.

Доказательство. Так как вектор с равен по величине площади параллелограмма и направлен вдоль нормали к нему в ту же сторону, что и вектор а (рис. 28), то тройное скалярное произведение измеряется объемом параллелепипеда, построенного на векторах что и требовалось доказать.

Таким образом,

Но так как

Заметим, однако, что

Следовательно, имеет место правило цикличности: тройное скалярное произведение изменяет знак только при изменении циклического порядка

перемножаемых векторов. Заметим также, что действительное положение знака X несущественно, так как

Последнее выражение справа является удобным обозначением тройного скалярного произведения.

Если два вектора равны или параллельны или если все три вектора компланарны, то тройное скалярное произведение равно нулю, т. е.