5.59. Формула Коши.

Пусть -функция комплексного переменного аналитическая внутри и иа замкнутом контуре С, и пусть какая-либо точка, не лежащая на С. Тогда

смотря по тому, будет ли внутри или вне С.

Рис. 93.

Доказательство. Возьмем функцию Функция аналитична всюду внутри С, за исключением точки где она неопределенная. Но поскольку аналитична, то

Будем считать, следовательно, функцию равной при

Согласно этому определению, аналитична всюду внутри С, и, следовательно, по теореме Коши, Поэтому, согласно теореме Коши о вычетах,

смотря по тому, будет ли точка внутри или вне С.

5.591. Главное значение интеграла.

Пусть — точка на дуге А (которая может быть замкнутым контуром). Рассмотрим интеграл

где задана, если движется по А. Подинтегральное выражение при становится бесконечным, таким образом, интеграл не определен. Опишем окружность с центром Со бесконечно малого радиуса так, чтобы окружность пересекала дугу А в двух точках, скажем (рис. 93). Обозначим через а часть дуги внутри окружности, т. е. дугу и обозначим через остальную часть дуги А. Говорят, что интеграл (1)

существует как главное значение в смысле Коши, если существует предел

Заметим, что если интеграл существует в обычном смысле, то он существует также в смысле главного значения; обратное неверно.

В частности, рассмотрим взятый вдоль замкнутого контура С. Здесь имеем

Следовательно, главное значение в смысле Коши равно

5.592. Формулы Племеля.

Пусть заданная точка на простом замкнутом контуре С и пусть -функция, заданная на С так, что интеграл

существует по крайней мере в смысле главного значения.

Если выбрать положительное направление обхода, то кривая разделит плоскость на две области: слева и справа (см. рис. 88). Рассмотрим формулу

Если находится в области то мы будем писать для значений определяемых по интегральной формуле Коши

Теперь пусть точка оставаясь все время внутри области стремится к Тогда

Далее, если находится в области то, по теореме Коши о вычетах, следовательно, из формулы (2) находим

Таким образом, если точка оставаясь в области стремится к то мы получим

Вычитая (5) из (4), мы получаем первую формулу Племеля

складывая (4) с (5), получаем вторую формулу Племеля

Если вместо замкнутого контура С задана открытая дуга А, то формула еще остается справедливой, так как мы можем замкнуть дугу, соединяя ее концы и полагая функцию равной нулю на этой смыкающей части.

Одним из наиболее ценных следствий первой формулы Племеля является следующая теорема.

Теорема Племеля. Функциональное уравнение

на дуге А имеет частное решение

Это — единственное решение, которое аполитично во всей плоскости, за исключением дуги А, и которое в бесконечности стремится к нулю.

Из формулы (6) сразу же следует, что функция (9) является решением. Для доказательства единственности обозначим через разность двух решений, удовлетворяющих этим условиям. Тогда посредством подходящего определения функции на дуге А (где она неопределенная) мы получаем, что аналитична во всей плоскости, включая бесконечность, и, следовательно, по теореме Лиувилля, сводится к постоянной величине, которая должна быть равна нулю, так как в бесконечности обращается в нуль.