14.13. Поверхностные волны.

Комбинируя кинематическое граничное условие (1) п. 14.11 с граничным условием для давления (2) п. 14.12, получаем

Далее, из п. 14.11 в случае простой гармонической прогрессивной волны (см. рис. 262) имеем

Таким образом, после простых вычислений из уравнения (1) получим уравнение, определяющее скорость распространения волны длиной в следующем виде:

Уравнения (2) и (3) полностью характеризуют эти волны на поверхности воды глубиной Примечательно, что, в то время как уравнение (2) выводится только из кинематических соображений, уравнение (3) устанавливает соотношение между величинами для того чтобы решение было физически удовлетворительным. Скорость распространения в действительности является функцией длины волны.

В более общем случае соответствующими условиями должны быть условие (1) и условие

так как через донную часть границы поток отсутствует. Комплексный потенциал имеет вид

Поэтому из условия (4) следует, что функция действительна, когда Следовательно, аналитическая функция может быть продолжена по принципу симметрии в область, для которой у отрицательно, точнее, в полосу Таким образом,

следовательно, получим

Полагая здесь и подставляя результат в условие (1), мы получаем уравнение

Так как аналитическая функция, то это уравнение должно иметь место для любой точки в области существования этой функции. Таким образом, мы можем написать z вместо х и получить уравнение

Это уравнение впервые получил Чизотти.

Отсюда следует, что любая аналитическая функция действительная на действительной оси, т. е. действительная при действительном и удовлетворяющая уравнению (5), является комплексным потенциалом для бесконечно малого движения воды глубины Граничные условия (1) и (4) удовлетворяются автоматически.

Читатель может убедиться, что путем подстановки комплексного потенциала (2) в уравнение (5) получается условие (3). Таким образом, уравнение Чизотти полностью описывает волны указанного типа.