1.01. Размерности физических величин.

Физика имеет дело с измеримыми свойствами физических величин. Некоторые из этих величин, например длина, масса, время и температура, рассматриваются как основные, так как они не зависят друг от друга. Другие величины, такие, как скорость, ускорение, сила, теплопроводность, давление, энергия, рассматриваются как производные величины, так как в конечном счете они определяются через основные величины. Математическая физика занимается представлением физических величин посредством чисел и связанными с этим вопросами. Значения физических величин имеют характер отношений, получаемых путем сравнения измеренной величнны с соответствующей стандартной величиной, произвольно выбранной и качестве единицы, так что число, выражакхцее результат измерения, зависит от выбора единицы.

Рассмотрим динамическую систему, т. е. систему, в которой производные величины зависят только от длины, массы и времени; заменим основные единицы скажем фут, фунт, секунду, на милю, тонну, час. Пусть являются мерами длины, массы и времени соответственно в двух системах единиц. Тогда можно записать равенства

где числа, не зависящие от частных значений измеряемых величин: длины, массы или времени, но зависящие только от выбора двух систем единиц.

Таким образом, в этом случае Эти числа мы назовем соответствующими коэффициентами длины, массы и времени для двух систем единиц в том смысле, что результаты измерения этих величин во второй системе переводятся в соответствующие результаты измерения в первой системе посредством умножения на числа .

Коэффициенты размерностей производных величин, скорости и, ускорения а и силы легко получаются из определения этих величин и записываются в виде

так что в конечном счете коэффициент размерности силы задается формулой

В общем случае если являются двумя результатами измерений одной и той же физической величины в двух системах единиц, то мы приходим к следующему коэффициенту размерности:

Условно будем считать, что данная величина имеет размерность Если тогда так что величина, о которой идет речь, не зависит от выбора единиц, как, например, величина, равная отношению массы машин к массе корабля. В таком случае мы говорим, что величина является безразмерной и представляется отвлеченным числом, значение которого не зависит от выбора единиц измерения. Рассмотрим теперь некоторое соотношение

между значениями с физических величин в динамической системе, т. е. соотношение, которое не изменяется от выбора системы единиц и которое является вполне закономерным для рассматриваемых величин, измеренных в одной частной системе единиц. Предположим, что величины с имеют размерности и соответственно, и тогда можно записать равенства

Теперь соотношение (3) принимает вид подставив сюда величины из равенств (4), получим равенство

Так как соотношение (3) не зависит от выбора единиц, то откуда следует соотношение

Иными словами, каждый коэффициент размерности основных величин должен входить с одинаковым показателем степени с каждой стороны соотношения (3), т. е. обе части формулы (3) должны быть одинаковой физической размерности.

В системах величин, содержащих как длину, массу, время, так и температуру в качестве основных величин (термодинамические системы), должен быть введен коэффициент размерности температуры (скажем, D).