5.62. Отображение.

Пусть функция комплексного переменного аналитическая внутри и на замкнутом контуре С в плоскости х, у, которую мы будем называть плоскостью (рис. 95).

Рис. 94.

Рис. 95.

Возьмем второе комплексное переменное и отметим изображающие точки на второй векторной диаграмме с осями Эту плоскость мы назовем плоскостью Рассмотрим теперь соотношение

Посредством этого соотношения каждой точке внутри контура С или на контуре соответствует одна точка в плоскости и поскольку будучи аналитической, однозначна, то точка является единственной. Таким образом, точки контура С и внутренняя область отображаются в некоторые точки плоскости Исследуем характер отображения при следующих допущениях:

а) функция никогда не принимает одинаковых значений в двух различных точках контура

б) производная не имеет нулей на контуре С.

Докажем теперь некоторые свойства отображения, задаваемого формулой (1).

(I) Если точка описывает замкнутый контур С один раз, то точка описывает замкнутую кривую в плоскости и эта кривая не имеет двойных точек.

Доказательство. В силу аналитичности функции она изменяется непрерывно на контуре С, поэтому и величина изменяется непрерывно, так что точка описывает непрерывный контур

В силу аналитичности функции она является однозначной функцией, поэтому, когда точка описывает один раз коитур С, возвращаясь к исходному положению, функция следовательно, величина возвращаются к первоначальному значению. Таким образом, замкнутая кривая.

Согласно допущению функция никогда не принимает одинакового значения дважды. Поэтому, когда точка описывает контур С, то переменная величина никогда не принимает одних и тех же значений дважды. Это означает, что кривая не пересекает сама себя, т. е. она не имеет двойных точек.

(II) Если внутри контура С дана точка то соответствующая точка находится внутри контура

Доказательство. Пусть имеем

Так как разность имеет по крайней мере один нуль внутри контура С, а именно то из п. 5.61 следует, что

Далее, когда точка описывает контур один раз, то увеличение равно (где или смотря по тому, будет ли точка вне, на или внутри контура

Соответствующие значения таковы: Но Отсюда и, следовательно,

Это показывает, что точка находится внутри контура и что контур описывается в положительном направлении. Это означает, согласно п. 5.40, что точка находится слева от наблюдателя, описывающего контур в положительном направлении.

(III) Если точка описывает контур С в положительном направлении, то точка описывает контур тоже в положительном направлении.

Данная теорема является непосредственным следствием теоремы (II), согласно которой точка находится внутри контура описывается в положительном направлении, если точка описывает контур С в положительном направлении.

(IV) Если внутри контура задана тонка то существует только одна точка внутри контура С, такая, что

Доказательство. Поскольку точка находится внутри контура разность имеет только один нуль внутри поэтому

Отсюда следует, что разность имеет только один нуль внутри контура С. Обозначая его через получим .

(V) Производная может обращаться в нуль внутри или на контуре С.

Доказательство. Допустим, что является нулем функции внутри контура С. Тогда разность имеет нуль кратности, большей 1, так как

Следовательно, уравнение имеет по крайней мере два корня в точке находящейся внутри С. Это противоречит теореме таким образом, предположение о том, что обращается в нуль внутри контура С, является ложным. То, что не может обратиться в нуль на контуре С, следует из допущения Если переменное принимает значения внутри контура то переменное является аналитической функцией

Доказательство. Из теоремы (IV) следует, что каждому значению внутри контура соответствует определенное значение внутри контура С, так что является однозначной функцией

Остается показать, что имеет единственную конечную производную для каждого значения внутри контура Теперь если не равна нулю, то

и так как значение единственно и не равно нулю, когда двигается внутри контура С, то отсюда следует требуемый результат. В соответствии с допущением результат остается верным, когда точка движется по контуру

Вышеуказанные результаты показывают, что соотношение (1) при выполнении допущения (а) дает взаимно однозначное и непрерывное отображение, при котором область, расположенная внутри контура С, точечно отображается на область, расположенную внутри контура и обратно — внутренняя область контура точечно отображается на внутреннюю область контура С таким образом, что точке внутри контура С соответствует одна и только одна точка внутри контура наоборот, точке внутри контура соответствует одна и только одна точка внутри контура С. Добавление условия обеспечивает то, что взаимно однозначный и непрерывный характер отображения распространяется на границы областей, контуры