5.55. Случай, когда функция не аналитична в некоторых точках.

Способ доказательства из п. 5.54 можно применить для получения весьма важного результата. Пусть функция аналитична в конечном числе точек внутри контура.

Рис. 92.

В этом случае всегда можно провести окружности достаточно малого радиуса с центрами в этих точках, так чтобы каждая окружность содержала внутри себя только одну точку, в которой функция не аналитична. Мы можем соединить эти окружности непересекающимися прямыми линиями с контуром С. На рис. 92 показан случай, когда функция не аналитична в трех точках. Окружностями являются отрезками прямых линий эти окружности соединяются с контуром С. По интегральной теореме Коши имеем

где повсюду подинтегральным выражением является Таким образом, получаем

Это означает, что интеграл по контуру можно заменить суммой интегралов по малым окружностям с центрами в точках внутри контура, в которых функция неаналитическая.