Глава 13. ПРЯМОЛИНЕЙНЫЕ ВИХРИ

13.00. В этой главе рассматриваются некоторые вопросы двумерного вихревого движения жидкости. При таком движении вектор вихря направлен всегда перпендикулярно плоскости движения. Мы, как обычно, рассматриваем слой жидкости единичной толщины, т. е. предполагаем, что жидкость ограничена двумя плоскостями, параллельными плоскости движения и отстоящими друг от друга на расстояние, равное единице длины. Вихревыми линиями являются прямые, параллельные друг другу; все вихревые трубки являются цилиндрами, образующие которых перпендикулярны плоскости движения. Такие вихри называют прямолинейными вихрями. Как и прежде, мы будем использовать понятия плоской геометрии.

13.10. Круговой вихрь. Пусть в безграничной жидкости имеется цилиндрическая вихревая трубка, поперечным сечением которой является круг радиуса а.

Сечение вихря плоскостью движения представляет собой круг, следовательно, такое течение можно рассматривать как круговой вихрь (рис. 236).

Рис. 236.

Рис. 237.

Мы будем предполагать, что завихренность в области, ограниченной окружностью этого круга, имеет постоянную величину . Вне окружности завихренность равна нулю. Проведем окружности радиусов концентрические с той, которая ограничивает вихрь, причем (рис. 237). Пусть скорости движения жидкости на окружностях с радиусами . В силу симметрии ясно, что скорости любых точек на окружности одинаковы по величине и направлены по касательным к этой окружности. В противном случае радиальные составляющие скоростей давали бы расход через окружность, а в ее центре О должен был бы быть источник или сток. Аналогично этому скорость в любой точке на окружности направлена по касательной к ней.

Применим к этим окружностям теорему Стокса о циркуляции . В результате получим равенства

Так как величины постоянны на соответствующих окружностях, то мы получаем

Отсюда следует, что при при Когда мы имеем , т. е. скорость непрерывно меняется при переходе через окружность радиуса а.

Таким образом, оказывается, что описанный нами вихрь образует некоторое поле скоростей. Это поле скоростей, вызванное вихрем, называется индуцированным полем скоростей, а скорость любой точки поля называется индуцированной скоростью.

Обычно скорость в некоторой точке поля называют скоростью, индуцированной вихрем, но это название следует понимать как удобное сокращение следующего более полного утверждения: если бы в жидкости существовал только один этот вихрь, то скорость в точке имела бы такую величину. В этом смысле, когда существует несколько вихрей, поле каждого вихря будет вносить свой вклад в величину скорости в рассматриваемой точке.

Возвращаясь к круговому вихрю, рассмотрим точку, расположенную вне вихря, причем радиус-вектор этой точки, проведенной из центра вихря, имеет величину Тогда оказывается, что индуцированная скорость обратно пропорциональна и перпендикулярна радиус-вектору. Таким образом, индуцированная скорость стремится к нулю, когда модуль радиус-вектора точки стремится к бесконечности.

Что касается жидкости внутри вихря, то ее скорость пропорциональна следовательно, жидкость внутри вихря движется, как твердое тело, вращающееся вокруг точки О с угловой скоростью В центре вихря скорость равна нулю. Этот важный факт может быть установлен следующим образом.

Круговой вихрь не индуцирует скорости в своем центре. Это утверждение следует понимать так: центр кругового вихря, существующего в покоящейся жидкости, остается неподвижным.

Из вышесказанного следует, что скорости точек, лежащих на концах некоторого диаметра внутри вихря, равны по величине, но направлены в противоположные стороны, так что средняя скорость жидкости внутри вихря равна нулю. Таким образом, если круговой вихрь малого радиуса помещен в точку некоторого потока, где скорость равна и, то средняя скорость в его центре будет равна и и жидкость, заключенная в вихре, будет двигаться со скоростью и; это означает, что вихрь движется вместе с потоком жидкости.

Примерами круговых вихрей в природе могут служить тропические циклоны (ураган, тайфун), которые достигают в диаметре от 100 до 500 миль и перемещаются со скоростью, редко превышающей 15 миль в час. Внутри циклона ветер может достигать ураганной силы, в то время как существует центр области диаметром от 10 до 20 миль, где условия могут быть относительно спокойнее.

Из полученных выше результатов мы можем вывести следующие формулы:

откуда следует, что скорость стремится к нулю на бесконечности и максимальна на границе вихря.

На рис. 238 графически иллюстрируются последние формулы. Заметим, что кривая на этом графике является частью гиперболы.

Вне вихря движение является безвихревым, а скорость задается выражением так что

Интегрируя это соотношение, находим комплексный потенциал

Отсюда видно, что существует циркуляция интенсивности

Следовательно, величину х мы можем назвать интенсивностью вихря); действительная циркуляция будет тогда равна

Таким образом, комплексный потенциал течения жидкости вне вихря интенсивности х, центр которого находится в точке задается формулой

Рис. 238.