16.13. Теорема Вейса для сферы.

Для теоремы о круге, доказанной в п. 6.21, имеется аналогичная теорема не только для осесимметричного движения, но и для общего трехмерного движения

Теорема Вейса для сферы. Пусть в безграничном пространстве имеется безвихревое течение несжимаемой идеальной жидкости с потенциалом скорости причем все особые точки этой функции расположены от начала координат на расстоянии, большем чем величина а. Если в область этого течения поместить сферу то потенциал скорости можно выразить в виде

Доказательство. Пусть сфера помещена в область течения и пусть теперь потенциал скорости представляется в виде суммы потенциал возмущения, обусловленного

сферой. При этом должны быть выполнены следующие условия: должно удовлетворяться уравнение Лапласа, должны отсутствовать возмущения на бесконечности и должна обращаться в нуль нормальная составляющая скорости на сфере. Более точно эти условия выражаются следующим образом:

(I) , функция X не должна иметь особенностей вне сферы

Если взять функцию X в виде где то, согласно

п. 16.12, следует, что кроме того, поскольку все особенности функции находятся вне рассматриваемой сферы, то все особенности функции находятся внутри этой сферы, так как преобразование инверсии отображает внешность сферы на ее внутренность. Итак, условие (I) удовлетворено.

Далее, по предположению, функция является регулярной в окрестности начала координат, поэтому она разлагается в ряд вида

где не зависят от Подставляя этот ряд в выражение для легко найдем, что старший член равен

а это показывает, что условие (II) удовлетворено. Чтобы проверить условие вычислим

Эта величина обращается в нуль при поскольку при этом значит, условие (III) также удовлетворено. Итак, теорема доказана.

Заметим, что применение этой теоремы не ограничивается случаем осесимметричного движения.

Рис. 310.