13.72. Вихревая дорожка Кармана.

Вихревая дорожка Кармана состоит из двух параллельных вихревых цепочек, в которых расстояние между вихрями одинаково и равно а. Одна цепочка состоит из вихрей интенсивности х, а другая — из вихрей интенсивности Вихри в верхней цепочке расположены над серединой отрезков, соединяющих соседние вихри в нижней цепочке (рис. 257).

Рис. 257.

Рассмотрим эту конфигурацию при и выберем систему координат, как показано на рисунке: ось х расположим посредине между цепочками, отстоящими друг от друга на расстояние и направим ее параллельно цепочкам. Пусть в этот момент времени вихри верхней цепочки находятся в точках а вихри нижней цепочки — в точках где

Из предыдущего пункта следует, что при комплексный потенциал этого течения имеет вид

Так как ни одна цепочка не индуцирует скорости сама на себя, то скорость вихря в точке определяется формулой

Таким образом, нижняя вихревая цепочка перемещается вдоль оси х со скоростью

Аналогично можно показать, что и верхняя цепочка перемещается с такой же скоростью. За время цепочки сместятся на расстояние а и конфигурация станет той же самой, что и в начале движения.

Чтобы исследовать устойчивость вихревой дорожки, заметим, что в некоторый момент времени вихри верхней цепочки будут находиться в точках а вихри нижней цепочки — в точках где тип пробегают весь ряд целых чисел от до

включая нуль. Если мы слегка сместим каждый вихрь, то вихри верхней цепочки расположатся в точках та а вихри нижней цепочки — в точках где бесконечно малые величины. Дорожка будет устойчивой, если эти величины останутся малыми в течение всего времени движения. Теперь комплексная скорость вихря, который соответствует значению равна

Составляющие этой скорости от вихрей верхней цепочки, соответствующих и вихрей нижней цепочки, соответствующих выражаются в виде суммы

Разлагая последнее выражение в ряд и сохраняя только члены первого порядка малости относительно мы получим

Если мы положим где — некоторые малые по модулю комплексные числа, то последнее выражение можно будет привести к виду

Далее, известно, что имеют место равенства

Таким образом, суммируя действие всех вихрей на вихрь, соответствующий значению и принимая во внимание формулу (1), получим уравнение

где

Чтобы получить уравнение для вихря из нижнего ряда, поменяем величину — х на х, а величину у на у, тогда получим

Для решения этих уравнений заменим в уравнении (3) все величины на комплексно-сопряженные, продифференцируем полученное уравнение по и используем снова уравнения (3) и (4). Тогда мы получим уравнение относительно у

Будем искать решение этого уравнения в виде

После подстановки этого выражения в уравнение получаем

Отсюда следует, что при величина к будет принимать действительные значения и движение будет неустойчивым.

С другой стороны, если то величина к будет принимать чисто мнимые значения и движение будет периодическим, следовательно, устойчивым. Кроме того, при мы получим т. е. каждый член ряда обращается в нуль.

Таким образом, при мы должны иметь равенство в качестве необходимого условия устойчивости по отношению к такого типа смещениям.

Чтобы найти величину А, продифференцируем равенство (2) по , тогда получим

Кроме того, путем разложения функции в ряды Фурье, легко получить равенство

Отсюда при получаем

Таким образом, если т. е.

Вихревая дорожка не будет устойчивой до тех пор, пока не будет выполнено это условие. Для более детального ознакомления с этим вопросом отсылаем читателя к книге Г. Ламба «Гидродинамика».