14.58. Условие Леви-Чивита для поверхности жидкости.

В п. 14.40 мы видели, что волна, имеющая при распространении постоянную форму профиля, может быть приведена к установившемуся движению. Рассмотрим волновой профиль, распространяющийся справа налево со скоростью с; его можно остановить путем наложения на всю систему скорости с, направленной слева направо, как, например, на рис. 275.

Применяя обозначения п. 12.43, напишем

В качестве свободной поверхности возьмем линию тока

Так как при установившемся движении время в уравнения не входит, то комплексный потенциал является аналитической функцией только переменного мы можем взять в качестве независимого переменного вместо На свободной поверхности значит, следовательно, являются функциями только действительного переменного Кроме того, на свободной поверхности по теореме Бернулли величина постоянна и, следовательно, мы имеем

Но из формулы (1) при следует отсюда

в то время, как из формулы (2) получаем

Таким образом, уравнение (3) можно представить в виде

Но аналитическая функция следовательно, Таким образом, окончательно

В таком виде условие на поверхности было получено Леви-Чивита.

Полученное условие является нелинейным. Линейное приближение можно найти, если предположить, что модуль является малой величиной первого порядка. Это означает, что и малы, так что приближенно Таким образом, линеаризированная форма указанного условия имеет вид

Теория, основывающаяся на этом условии, полностью эквивалентна теории, данной в предыдущих пунктах этой главы. Чтобы убедиться в этом, рассмотрим симметричный волновой профиль длины волны А, и поместим начало координат в гребне (см. рис. 275). Для простоты рассмотрим случай бесконечно глубокой воды.

В силу симметрии величина постоянна, а на вертикали, проходящей через гребень или впадину волны. Поскольку на большой глубине то мы можем положить на оси на вертикалях, проходящих через соседние впадины, расположенные слева и справа.

Таким образом, граничные условия, которые должны быть удовлетворены, имеют вид

В данном случае условие на поверхности дается формулой (5).

Легко доказать, что указанным условиям удовлетворяют величины

где действительная константа, которая является малой величиной в силу того, что величина мала. Если затем положить и разложить в ряд показательную функцию в формуле (1), то мы получим

откуда, замечая, что при найдем после интегрирования

Так как величина а мала, то в первом приближении следовательно, подставляя это значение в показатель показательной функции, получаем

Это выражение согласуется с формулой (3) п. 14.40, если начало координат перенести в гребень волны, т. е. если написать вместо Тогда результат будет отличаться от выражения (10) только постоянной величиной. Таким образом, линейное приближение (5) согласуется с предыдущей теорией и на самом деле дает уточнение предпосылок этой теории.

Однако имеется серьезное ограничение при использовании линейного приближения. Волна у гребня будет разбиваться, если скорость жидкости у гребня превосходит скорость волны. Критическим является тот случай, когда скорость жидкости у гребня равна скорости волны, т. е. случай установившегося движения при Согласно формуле (2), это означает, что в гребне Отсюда следует, что приближение, основывающееся на допущении, что величина мала, оказывается непригодным в этом случае. Дэвис предложил приближение к граничному условию (4), которое сохраняет его основные черты и допускает, чтобы было велико по модулю. Приближение это имеет вид

оно отличается от условия (4) только подстановкой величины вместо

В качестве упражнения читателю предлагается доказать, что граничные условия (6) и (7) и условие (11) на поверхности удовлетворяются равенствами

где произвольная действительная постоянная. Если модуль мал, то формула (12) сводится к формуле (9).

Так как в гребне, то из формул (1) и (12) следует, что должно быть равно нулю, если Это является условием для разрушения гребня.

Если это условие удовлетворяется, то вблизи гребня, где величина мала, мы имеем

и, следовательно, из формулы (1) получим

Полученные соотношения означают, что при разрушении волны в окрестности гребня волна имеет форму клина с углом 120°. Это согласуется с наблюдениями разрушающихся волн и с теоретическими результатами Стокса.