5.11. Умножение.

Пусть Тогда, применяя последовательно оператор к вектору получаем в результате

так как по определению Таким образом,

и, следовательно,

Легко доказать, что получится тот же результат, если множители взять в следующем порядке:

Таким образом, порядок сомножителей можно изменять, не изменяя произведения, т. е. умножение коммутативно. Кроме того, если мы перемножим множители, входящие в левую часть формулы (1) по обычным законам алгебры, то получим выражение

Сравнение с формулой (1) показывает, что произведение комплексных чисел можно получить по обычным законам алгебры, если положить

Это вполне согласуется с определением как оператора два последовательных применения которого к вектору меняют его направление на противоположное и, следовательно, умножают его на —1.