Глава 10. ТЕОРЕМА ШВАРЦА — КРИСТОФФЕЛЯ

10.10. Простые замкнутые многоугольники.

Примерами обычных многоугольников являются, скажем, прямоугольник или правильный шестиугольник. Для гидродинамических приложений необходимо расширить это понятие до прямолинейных конфигураций, которые на первый взгляд ничего общего не имеют с многоугольниками элементарной геометрии. Рассмотрим два свойства прямоугольника (или правильного шестиугольника).

а) Можно перейти от одной определенной точки границы к другой определенной точке границы, следуя по пути, который никогда не покидает границу. Граница является связной.

б) Граница области делит точки плоскости на два типа: одни точки можно назвать внутренними, а другие внешними. Внутренними точками являются такие точки, что любые две из них можно соединить линией, нигде не пересекающей границу. То же справедливо для внешних точек. С другой стороны, невозможно перейти от внутренней точки к внешней, не пересекая где-либо границу.

Любая конфигурация прямых линий в плоскости, которая обладает свойствами (а) и (б), называется простым замкнутым многоугольником. Термин «простой» означает, что каждая точка плоскости является либо внутренней точкой, либо точкой границы, либо внешней точкой, причем точки каждого класса образуют связную систему.

Во многих важных гидродинамических задачах границы многоугольника простираются до бесконечности.

Мы будем рассматривать в качестве внутренних точек многоугольника (см. п. 5.71) такие точки, которые находятся в области, расположенной слева от наблюдателя, описывающего границу в заданном направлении. Некоторые из таких многоугольников изображены на рис. 173. Точки, удаленные на бесконечно большое расстояние, отмечены индексом внешние области многоугольников заштрихованы. В каждом случае буква обозначает внутреннюю точку.

На рис. 173 (I) показан прямоугольник с двумя вершинами в бесконечности. Этот прямоугольник можно было бы рассматривать как треугольник с одной вершиной в бесконечности (соответствующей точкам На рис. все вершины четырехугольника находятся в бесконечности.

На рис. 173 (III), (IV) показан треугольник с двумя вершинами в бесконечности, причем внутренней областью считается внутренняя или внешняя сторона треугольника в соответствии с направлением обхода границы. Диаграмму на рис. можно рассматривать как прямоугольник, в котором две вершины совпадают в точке а другие две совпадают в бесконечности. Эту диаграмму можно рассматривать как полубесконечную прямую линию, описываемую дважды в указанных направлениях. Этот пример имеет чного приложений; мы отметим лишь ту особенность, что данный прямоугольник не содержит внешних точек. Все точки плоскости принадлежат либо границе, либо внутренней области в соответствии с нашим определением внутренней области. Для более глубокого понимания рассмотренного примера

на рис. 173 (VI) показана та же диаграмма в виде двух линий, причем считается, что прямые линии не совпадают.

Теперь покажем, что граница любого простого замкнутого многоугольника на плоскости может быть преобразована в действительную ось плоскости с помощью конформного отображения; при этом внутренним точкам многоугольника будут соответствовать точки, расположенные только с одной стороны действительной оси плоскости ;

Рис. 173.

течение жидкости внутри многоугольника преобразуется в течение на полуплоскости

Допустим, что такое отображение осуществлено; тогда ясно, что вершины углов многоугольника перейдут в точки действительной оси плоскости

Рис. 174.

Это отображение можно интуитивно рассматривать как развертывание многоугольника до тех пор, пока его граница не перейдет в бесконечную прямую линию; при этом произойдут локальные изменения размеров, необходимые для соблюдения конформности отображения.

Если многоугольники, изображенные на рис. отобразить указанным путем, то в результате мы получим полуплоскости, изображенные на рис. 174 (VII-IX). В случае, изображенном на рис. 174 (II), можно считать, что точки и переходят или в одну конечную точку или в две

различные конечные точки в последнем случае мы получим полуплоскость, аналогичную той, которая получается из диаграммы рис. 173 .

Этот интуитивный метод может быть применен для изучения конкретных задач только в простейших случаях, однако он позволяет выяснить картину преобразования потока.

Таким образом, если мы имеем равномерный поток в канале с параллельными плоскими стенками, то линиями тока являются прямые, параллельные стенкам, а линиями равного потенциала скоростей являются перпендикулярные стенкам.

Рис. 175.

Равномерный поток можно рассматривать как поток, обусловленный источником в и стоком в Если мы развернем канал, считая, что точки и Со» совпадают, то получим источник в точке и сток в бесконечности (рис. 175). Хотя этот результат вполне очевиден, он хорошо иллюстрирует процесс преобразования потока.