7.12. Обтекание кругового цилиндра с циркуляцией и без циркуляции.

Обтекание кругового цилиндра радиуса а без циркуляции задается комплексным потенциалом

Обтекание кругового цилиндра с циркуляцией интенсивности х задается комплексным потенциалом

Комбинируя эти движения жидкости, мы получаем следующий комплексный потенциал:

Цилиндр по-прежнему остается частью линии тока Действительно, полагая найдем, что действительная величина и, следовательно, .

Для отыскания общей формы линий тока исследуем прежде всего критические точки, определяемые уравнением

или

откуда

Теперь мы должны рассмотреть три случая

Случай Если то можно положить Тогда так что критические точки являются точками пересечения цилиндра с прямой линией, расположенной ниже центра цилиндра и проведенной параллельно действительной оси.

На рис. 124 показаны критические точки угол и расположение линий тока.

Воздействие циркуляции приводит к тому, что увеличивается скорость жидкости в точках, расположенных над цилиндром, и уменьшается скорость в точках, расположенных под цилиндром. Таким образом, давление над цилиндром уменьшается, а под цилиндром увеличивается, и поэтому на цилиндр будет действовать сила, направленная вверх по оси у.

Функция тока

не изменится, если вместо х напишем , т. е. линии тока симметричны относительно оси у. Поэтому результирующая сила в направлении оси х равна нулю, т. е. цилиндр не испытывает лобового сопротивления.

Рис. 124.

Если циркуляция равна нулю, то критические точки лежат на оси х. Таким образом, другое воздействие циркуляции заключается в том, что эти точки передвигаются вниз.

Случай II. Пусть тогда угол В этом случае критические точки совпадают в точке С (рис. 125) на нижней половине цилиндра.

Случай III. Пусть положим Тогда находим

Обозначая эти точки через имеем

Рис. 125.

Таким образом, критические точки теперь являются точками инверсии относительно окружности на мнимой оси; одна из них находится внутри цилиндра и не принадлежит рассматриваемой области течения.

В критической точке линии тока пересекаются обязательно под прямым углом (см. п. 4.60), и, таким образом, жидкость внутри образовавшейся петли может циркулировать вокруг цилиндра, никогда не соединяясь с основным потоком (рис. 126).

Для нахождения давления в точках на цилиндре определим производную

Отсюда

и, следовательно,

Результирующая сил, действующих со стороны жидкости на цилиндр, имеет следующие компоненты:

Рис. 126.

Если в выражении для давления заменить на то изменится только последнее слагаемое. Следовательно, давление в диаметрально противоположных точках выражается следующим образом:

где

Ясно, что слагаемые не оказывают никакого действия на цилиндр, так как они взаимно уничтожаются. Следовательно,

отсюда

Таким образом, на цилиндр действует сила стремящаяся поднять его под прямым углом к направлению основного потока. Эту силу обычно называют подъемной силой.

Расчет подъемной силы, даже в этом очень простом случае, весьма облегчается благодаря применению теоремы Чаплыгина-Блазиуса. В рассматриваемом случае эта теорема дает следующее выражение для силы:

Здесь интеграл берется по замкнутому контуру цилиндра. Единственным полюсом подинтегральной функции внутри контура является точка

Вычет в этой точке равен коэффициенту при в подннтегральном выражении, т. е. величине

Отсюда по теореме Коши о вычетах находим

так что, как и прежде,

Преимущество теоремы Чаплыгина-Блазиуса состоит в том, что в ней используется единственная переменная а все остальные переменные исключены с помощью теоремы о вычетах.