Глава 9. ДВИЖЕНИЕ ЦИЛИНДРОВ

9.10. Кинетическая энергия ациклического безвихревого движения.

Рассмотрим двумерное ациклическое безвихревое движение жидкости, ограниченной изнутри цилиндром а снаружи цилиндром (рис. 160). Слой жидкости имеет единичную толщину, т. е. жидкость расположена между двумя плоскостями, параллельными плоскостям течения и отстоящими друг от друга на единицу длины. Из теоремы (1) п. 3.77 следует, что, для того чтобы такое течение существовало, один или оба цилиндра должны двигаться.

Если обозначить область, ограниченную кривыми через то выражение для кинетической энергии жидкости в данном случае имеет вид

Использовав теорему Стокса в комплексной форме (см. п. 5. 43), мы получим соотношение

в котором оба контура интегрирования обходятся против часовой стрелки.

9.11. Кинетическая энергия циклического движения.

Рассмотрим циклическое безвихревое движение жидкости, заключенной в двусвязной области между неподвижными цилиндрами

Рис. 160.

Рис. 161.

Обозначим через комплексный потенциал. По предположению, существует циркуляция интенсивности х, поэтому при обходе контура против часовой стрелки функция уменьшается до величины

Проведем мысленно перегородку между цилиндрами, превратив таким образом область, занятую жидкостью, в односвязную (рис. 161). Перегородка является лишь геометрическим понятием и не влияет на движение жидкости; это будет иметь место в том случае, если состоит

все время из одних и тех же частиц жидкости. Перегородка позволяет образовать односвязную область, в которой функция является однозначной.

Обозначим через С контур где кривая С, обходится против часовой стрелки, а кривая по часовой стрелке. Так как следовательно, то кинетическую энергию жидкости можно записать в виде

Функция является однозначной в области, ограниченной контуром С, поэтому первый интеграл вследствие теоремы Коши обращается в нуль. Так как функция постоянна на линиях тока то последний интеграл сводится к интегралу вдоль кривой . На дуге комплексный потенциал имеет значение а на дуге имеет значение Следовательно,

где значения функции в точках Таким образом,

где расход жидкости, протекающей справа налево через перегородку

Из формулы (3) следует также, что

где составляющая скорости, нормальная к перегородке Последнее выражение представляет собой работу, совершенную импульсивным давлением величины приложенным к перегородке если жидкость первоначально покоилась.

Таким образом, данное циклическое движение могло бы возникнуть из состояния покоя под действием импульса приложенного к перегородке, если предположить, что перегородка немедленно исчезает после приложения импульса. Обратно, если установилось циклическое движение, жидкость можно было бы привести в состояние покоя путем приложения импульсивного давления противоположного знака к перегородке, подобной Отсюда следует, что циклическое движение не может быть создано или остановлено импульсивным давлением, приложенным только к границам С, и С.

Итак, мы можем обобщить теорему II п. 3.77 следующим образом (по крайней мере для двумерного движения).

Если жидкость, занимающая двусвязную область, ограниченную твердыми стенками, совершает ациклическое движение, то движение мгновенно прекращается, если границы приводятся в состояние покоя. Однако если движение является циклическим, то циклическая часть будет сохраняться при остановке границ.

Теорема VI допускает подобное же обобщение. И вообще, если задана интенсивность циркуляции, то безвихревое движение вдвусвязной области полностью определено.

Эти теоремы, доказанные здесь для случая двумерных двусвязных областей, приложимы к областям любой связности в трехмерном пространстве.

Мы можем теперь выполнить обобщение на случай произвольного двумерного безвихревого движения жидкости между двумя твердыми цилиндрами Комплексный потенциал любого такого движения может быть выражен в виде суммы где -потенциал ациклического движения, а потенциал циклического движения с неподвижными границами. В этом случае полная кинетическая энергия жидкости (на единицу толщины) выражается следующей формулой:

где

Далее, по теореме Коши функция как и прежде, постоянна на границах Следовательно,

так как функции являются однозначными и интегралы вдоль линий и сокращаются. Таким образом,

другими словами, кинетическая энергия является суммой кинетических энергий каждого движения, если их рассматривать независимо. Так как функция однозначна, то интеграл в формуле (6) не зависит от перегородки

Рис. 162.

В качестве примера вычисления кинетической энергии циклического движения рассмотрим случай движения с циркуляцией интенсивности х между двумя круговыми цилиндрами радиусов . В этом случае