20.30. Метод годографа.

Рассмотрим плоское установившееся движение. Пусть (рис. 340) - дуга некоторой кривой в плоскости течения которую принято называть физической плоскостью. В точках проведем векторы изображающие скорость газа в этих точках. От некоторой фиксированной точки отложим векторы равные и параллельные этим векторам скорости. Тогда точки опишут годограф данной кривой Плоскость кривой называется плоскостью годографа данного движения. Если ось Ни в плоскости годографа взять параллельной оси Ох в плоскости течения, то скорость в точке будет равна

а точка будет иметь декартовы координаты и полярные координаты

Рис. 340.

В п. 20.20 мы видели, что потенциал скоростей безвихревого течения сжимаемого газа удовлетворяет нелинейному дифференциальному уравнению. Покажем, что если в качестве независимых переменных взять или то это уравнение станет линейным.

Здесь целесообразно ввести в рассмотрение функцию тока Уравнение неразрывности в случае установившегося движения имеет вид

Этому уравнению можно удовлетворить, полагая

где некоторая постоянная величина, которую, например, если рассматривается обтекание крыла, удобно отождествлять с плотностью потока. Функция представляет собой функцию тока. Таким образом, если потенциал скоростей, то имеем

и отсюда, как нетрудно проверить, следуют равенства

Следовательно,

Если соответствующие частные производные обозначать индексом, например, то тогда, очевидно,

а поскольку то получим

Выполняя дифференцирование, приравнивая действительную и мнимую части этого выражения и замечая, что является функцией только от придем к уравнениям

Эти уравнения называются уравнениями в плоскости годографа.

Выведем уравнение, которому удовлетворяет функция тока. Поскольку

или

так как не зависит от 0.

Но с помощью уравнения Бернулли (3) п. 1.61 и формулы получим равенство

Тогда уравнение (4) примет окончательный вид

Это уравнение, которому удовлетворяет функция тока, является линейным. Оно было получено С. А. Чаплыгиным.