14.44. Волны на поверхности раздела в случае, когда верхний слой имеет свободную поверхность.

Задача, рассмотренная в п. 14.42, допускает интересное обобщение, если считать, что верхняя поверхность является свободной поверхностью, а не ограничена неподвижной горизонтальной плоскостью. Рассмотрим слой жидкости глубины и плотности лежащей на слое жидкости плотности Это соответствует распространению волн на поверхности раздела. Эта задача подобна задаче п. 14.43, если вместо неподвижного синусоидального дна мы рассмотрим жидкость, расположенную под извилинами синусоиды. Используя рисунок и обозначения этого пункта, в верхнем слое жидкости мы получим то же самое значение потенциала (1) и то же самое отношение (3) возвышений на свободной поверхности и на поверхности раздела, причем обозначает теперь скорость распространения волны. Дополнительным условием, которое должно удовлетворяться, является условие непрерывности давления на поверхности раздела, которое выражается равенством

где величины относятся к верхнему слою жидкости на поверхности раздела, к нижнему. Если глубина нижнего слоя жидкости велика, то мы можем взять подобно формуле это приводит к уравнению

Исключая отношение с помощью соотношения (3) п. 14.43, мы получим после некоторых преобразований

отсюда имеем

Таким образом, для заданной скорости распространения возможны две различные длины волны, первая из которых такая же, как в случае отсутствия верхней жидкости.

Чтобы найти значение во втором случае, положим

Тогда получим уравнение

которое можно переписать в виде

Но величина положительна, если а величина отрицательна, если Следовательно, функция положительна, если и уравнение не имеет положительных корней. С другой стороны,

если то следовательно, уравнение имеет действительный положительный корень. Наличие только одного такого корня следует из того факта, что положительна, если Таким образом, если

то создаются волны только одного вида, но если меньше этой величины, то создаются волны другого типа, для которых отношение возвышения поверхности раздела к возвышению свободной поверхности дается формулой (1). Это отношение равно

так что при малых значениях разности возвышение волн на поверхности раздела будет очень большим по сравнению с поверхностным возвышением. Этот результат использовался для объяснения аномального сопротивления, которое иногда испытывали корабли вблизи устьев некоторых норвежских фиордов, где имеется слой пресной воды над слоем соленой воды, причем увеличение сопротивления приписывается образованию волн большой амплитуды на поверхности раздела.