13.73. Сопротивление, вызываемое вихревым следом.

В случае обтекания цилиндрического тела потоком при достаточно малых числах Рейнольдса (см. п. 19.62) обнаружено, что через определенный промежуток времени попеременно то с верхней, то с нижней кромки тела срываются вихри, и на некотором расстоянии за телом существует развитая вихревая дорожка (рис. 258).

Рис. 258.

В непосредственной близости за телом форма вихревого следа неясна, на больших расстояниях от тела вниз по потоку вихри затухают вследствие вязкости, а в средней части существует описанная выше вихревая дорожка. Теперь мы получим приближенное выражение для сопротивления вследствие образования такого вихревого следа.

Сделаем следующие предположения.

1) Вихри в следе могут быть представлены точечнымм вихрями.

2) В системе координат, начало которой выбрано посредине регулярной части следа, комплексный потенциал течения может быть приближенно заменен комплексным потенциалом бесконечной вихревой дорожки, выведенным в предыдущем пункте.

Рис. 259.

3) Если мы окружим цилиндр контуром, который перемещается с той же скоростью, что и вихревой след, и размеры которого велики по сравнению с размерами цилиндра, расстоянием между соседними вихрями в цепочке и расстоянием между цепочками, то движение жидкости на границах контура будет установившимся.

4) Образование вихрей в потоке происходит строго периодически.

Мы будем рассматривать цилиндр, который движется со скоростью в покоящейся жидкости. Положим, что расстояние между вихрями в цепочке равно а, а расстояние между цепочками равно (рис. 259). Тогда вихревая дорожка будет перемещаться со скоростью

интенсивность каждого вихря. Так как вихри непрерывно срываются с тела через промежуток времени то период движения будет равен и мы будем иметь и .

Расположим ось х посредине между цепочками и направим ее в сторону движения. Если на наше течение наложить равномерный поток, скорость которого равна —V, то вихревая дорожка будет покоиться, цилиндр будет двигаться со скоростью а жидкость на бесконечности будет иметь скорость — V (исключая окрестность вихревого следа). Динамические условия при этом не изменяются.

Проведем теперь прямоугольный контур размеры которого велики по сравнению с и размерами цилиндра. Пусть сторона прямоугольника совпадает с осью у. выбранной так, чтобы начало координат было в центре параллелограмма, вершинами которого являются четыре ближайшие к началу координат вихря. Таким образом, на границе прямоугольника вихрей нет. Тогда комплексный потенциал течения будет иметь вид

где

В формуле (2) член является комплексным потенциалом равномерного потока, наложенного на наше течение. Обозначим через величину суммарной силы, действующей со стороны жидкости на цилиндр. Тогда на жидкость, заключенную в прямоугольнике со стороны цилиндра действует сила и давление со стороны жидкости, окружающей прямоугольник.

Если обозначить через количество движения жидкости, находящейся внутри контура а через обозначить количество движения жидкости, втекающей через контур то по теореме Эйлера об изменении количества движения жидкости имеем

где через с обозначен контур прямоугольника

Далее, нормальная скорость жидкости, втекающей через элемент контура, равна — следовательно,

откуда

Поскольку течение на контуре установившееся, то из уравнения Бернулли следует

Интеграл от постоянной С равен нулю и, кроме того.

Таким образом.

Подставив это выражение в формулу (4) и использовав формулу мы получим

Далее, из формулы (2) следует, что

поэтому интеграл по контуру с от первого члена этого выражения обращается в нуль, а интеграл от второго члена является действительной величиной. Таким образом, величина сопротивления X является действительной частью функции

и зависит от времени. Мы будем вычислять среднюю величину сопротивления.

Так как функция на контуре не зависит от времени вследствие предположения , а рассматриваемое движение периодическое с периодом то после интегрирования по от до и выделения действительной части получаем следующую формулу для среднего по времени сопротивления

В правой части формулы (6) первые два члена представляют собой увеличение количества движения жидкости вдоль оси х вследствие появления за время внутри контура двух новых вихрей.

Спедовательно, для того чтобы найти первые члены в формуле (6), надо вычислить увеличение количества движения жидкости внутри большого контура вследствие появления в ней пары вихрей. Рассмотрим выражение

где Таким образом, если мы выберем для удобства вычислений то мы получим и в виде

При изменении х от до функция получает приращение или в зависимости от того, или

Таким образом, выражение в квадратных скобках под знаком интеграла равно или в зависимости от того, лежит ли величина у внутри отрезка или вне его. Следовательно,

Применяя этот результат к нашей задаче, мы найдем, что первые два члена в выражении (6) равны

Для вычисления интеграла в выражении (6) мы из формулы (2) находим

Следовательно,

Заметим, что всюду на контуре, за исключением стороны Следовательно, интеграл берется в пределах и Положим

Тогда

Подставляя это выражение в формулу (6) и используя формулу (7), мы получим формулу Кармана для сопротивления, которое обусловлено появлением вихревого следа

Сопротивление может быть выражено через скорость V в виде

при этом надо учесть, что

Следует подчеркнуть, что вычисления были проведены при некоторых предположениях, сформулированных выше, и результаты носят приближенный характер.