2.61. Следствия из теоремы Гаусса.

Пусть а — некоторый вектор, а некоторый скаляр. Заменим в теореме Гаусса выражение последовательно на Тогда мы получим следующие равенства:

Последнее равенство может быть названо тензорной формой теоремы Гаусса.

Используя формулу п. 2.34, это равенство можно свести к следующему виду:

Теорема Гаусса может быть сформулирована также едующим образом

Здесь через обозначен элемент объема, а через вектор элемента площади поверхности, направленный внутрь объема, ограниченного этой поверхностью.

2.615. Соленоидальный вектор образует трубки постоянной интенсивности.

Если векторная функция а задает некоторое векторное поле, то векторными линиями поля называются линии, касательные к которым в каждой точке направлены вдоль вектора а, проведенного в этой точке (ср. линии тока). Векторная трубка образуется векторными линиями поля, проведенными через каждую точку некоторой замкнутой кривой. Рассмотрим часть векторной трубки, заключенную между двумя плоскими сечениями внешние нормали к которым обозначим через Из теоремы Гаусса можно получить равенство

так как, по определению, и так как на боковой поверхности векторной трубки

Таким образом, величина остается постоянной вдоль векторной трубки. Мы назовем величину А интенсивностью векторной трубки. Следовательно, мы можем определить единичную трубку как трубку единичной интенсивности и говорить о числе единичных трубок которые охватывает данный контур С.