2.23. Другое выражение для градиента функции.

Рассмотрим цилиндр ограниченный поверхностями уровня причем точка (находится на нормали к поверхности в точке (рис. 33). Пусть бесконечно малая величина первого порядка, пусть диаметр нашего цилиндра считается малым по сравнению с а образующая цилиндра перпендикулярна поверхности

Введем единичный вектор внешней нормали к элементу поверхности цилиндра и рассмотрим выражение

Рис. 33.

Так как диаметр поперечного сечения цилиндра — бесконечно малая второго порядка, то функцию можно считать постоянной на линии, ограничивающей нормальное сечение цилиндра. Следовательно, интеграл (1) по боковой поверхности цилиндра равен нулю с формулой (3) п. 2.20]. Если через со обозначить площадь поперечного сечения цилиндра, то интеграл (1) приближенно можно представить следующим образом:

где V — объем цилиндра. При этом мы использовали равенство

Заменим теперь цилиндр произвольной малой выпуклой поверхностью окружающей точку Тогда поверхность можно разбить на цилиндры типа, описанного выше, и так как интегралы по внутренним границам пропадают, то получается приближенное равенство

где К — объем, ограниченный поверхностью Следовательно, с принятой нами точностью

Таким образом, если произвольная поверхность, окружающая точку то мы можем записать соотношение

где означает, что поверхность стягивается в точку таким образом, что она всегда окружает точку когда наибольший линейный размер поверхности стремится к нулю.