Глава 20. ДОЗВУКОВОЕ И СВЕРХЗВУКОВОЕ ТЕЧЕНИЕ

20.00. В предыдущих главах мы почти все время имели дело с несжимаемой жидкостью, такой, например, как вода. Число Маха (см. п. 1.63) принималось при этом равным нулю.

В этой главе мы будем рассматривать сжимаемую жидкость, такую, например, как воздух. При этом сжимаемая жидкость предполагается невязкой. Вероятно, самым важным результатом влияния вязкости является сила сопротивления, обусловленная поверхностным трением в пограничном слое. Внешними силами будем пренебрегать; это означает (см. п. 1.44), что мы будем иметь дело только с гидродинамическим, или, как здесь более уместно сказать, с аэродинамическим давлением.

20.01. Термодинамические уравнения.

Рассмотрим единичную массу газа, имеющую объем и плотность так что

Пусть — абсолютная температура газа, т. е. температура, измеряемая от абсолютного нуля (равного приблизительно —273° С). Газ называется совершенным, если он подчиняется закону

где давление, газовая постоянная. Таким образом, из четырех величин независимыми являются только две.

Если взять логарифмическую производную от равенства (2), то можно получить соотношения

В дальнейшем мы будем рассматривать только совершенный газ.

Первый закон термодинамики утверждает, что теплота есть форма энергии.

Пусть рассматриваемая единичная масса газа получает некоторое малое количество тепла

Гипотеза. Для всех газов, находящихся или не находящихся в осредненном движении, существует функция внутренней энергии которая не зависит от осредненного движения, а зависит только от параметров состояния Причем количество тепла подводимое к газу, равно

Величина представляет собой избыток подведенной энергии по сравнению с механической работой, совершенной силами давления

Гипотеза. В совершенном газе внутренняя энергия является функцией одной только абсолютной температуры

Эта гипотеза представляет собой обобщение, основанное на результатах экспериментов. Она известна также как закон Джоуля. Из этой гипотезы

следует, что

и тогда равенство (4) примет вид

Если при подводе к газу малого количества тепла газ не имеет возможности расширяться то его температура возрастет, скажем, на величину Тогда можно записать, что

Величина называется удельной теплоемкостью при постоянном объеме. Она представляет собой количество тепла, которое требуется для того, чтобы повысить температуру газа на один градус при условии, что объем газа остается постоянным. Полагая в равенстве получим

Подобным образом определим удельную теплоемкость при постоянном давлении как количество тепла, которое требуется для того, чтобы повысить температуру газа на один градус, при условии, что давление газа остается постоянным. Но если постоянно, то из соотношений (3) находим следовательно, из уравнения (6) получим

Отсюда с учетом равенства (7) находим

следовательно,

Гипотеза. Для совершенного газа являются постоянными величинами.

Эта гипотеза также основана на результатах экспериментов. Малую величину количества тепла мы обозначили здесь через а не через что казалось бы более естественным. Причина этого состоит в том, что, вообще говоря, не существует такой функции полным дифференциалом которой является Однако можно записать равенство

где дифференциал некоторой функции 5, которая называется энтропией.

Чтобы проверить равенство (9), заметим, что из равенств (6) и (7) с помощью соотношений (2) и (8) находим

поскольку и постоянные числа, то это равенство и доказывает, что является полным дифференциалом. Обозначим теперь

и тогда сразу получим

Если состояние газа изменяется от до то приращение энтропии равно

Второй закон термодинамики утверждает, что энтропия изолированной системы не может уменьшаться, т. е. всегда

Если энтропия сохраняет одно и то же постоянное значение во всем газе, то говорят, что такое течение является гомэнтропическим. Следовательно, условие для гомэнтропического течения таково: Из равенства (11) следует, что в гомэнтропическом течении

где k — постоянная, которая зависит от энтропии. Это равенство выражает закон адиабатичности (см. п. 1.62).

Установившееся течение газа подчиняется уравнениям движения и неразрывности

Так как здесь имеются три неизвестные величины то этих уравнений недостаточно для определения движения. Однако в случае гомэнтропического течения можно присоединить еще уравнение адиабатичности и получить таким образом полную систему уравнений. Чтобы вычислить внутреннюю энергию, запишем

и, следовательно, с точностью до произвольного слагаемого получим следующие различные формулы для внутренней энергии:

Энтальпия, или теплосодержание, I представляет собой количество тепла, которое надо подвести к единице массы совершенного газа, чтобы при постоянном давлении поднять температуру газа от абсолютного нуля до данной температуры.

Поскольку есть постоянная величина, то из равенства (4) имеем

и, следовательно, из равенств (4) и (9) получим

В изэнтропическом случае, когда энтропия постоянна вдоль линии тока, но не обязательно имеет одно и то же постоянное значение на различных линиях тока, должно быть выполнено равенство