12.20. Прямой удар струи о пластинку.

Предположим, что струя конечной ширины, имеющая скорость встречает неподвижную пластинку шириной расположенную под прямым углом к потоку, как изображено на рис. 207.

Рис. 207.

Точку А в середине пластинки примем за начало координат, а ось х направим по линии Линия тока, попадающая на пластинку в точке рааветвляется на две линии, которые идут по пластинке к точкам и затем переходят в свободные линии тока и Область вакуума между свободными линиями тока является каверной.

Предположим, что разветвляющаяся линия тока соответствует значению и что в точке А. Тогда в точках и имеем Плоскость до изображена на рис. 207, где для ясности части границы расположены на некотором расстоянии друг от друга, хотя в действительности они совпадают с отрицательным направлением оси

Диаграмму в плоскости до следует рассматривать как многоугольник, у которого границей является внутренняя область совпадает со всей плоскостью до, внутренний угол в точке А равен С помощью преобразования Шварца—Кристоффеля отобразим такой многоугольник на верхнюю половину плоскости так, чтобы точки соответственно переходили в точки Это преобразование определяется формулами

так как

Рассмотрим теперь соотношение

Представим это соотношение на векторной диаграмме; считая, что описывает линию на плоскости мы получим фигуру, показывающую, что уменьшается на , когда мы идем от точки А вдоль линии Поэтому плоскость имеет вид, изображенный на рис. 207 (см. также рис. 202).

Полуполосу плоскости отобразим на верхнюю половину плоскости при этом точки которые являются вершинами внутренних углов, равных соответственно должны перейти в точки Для такого отображения по формуле Шварца — Кристоффеля имеем

Далее, если то если то Поэтому имеем

и, следовательно,

Отсюда получаем

Поэтому

Но

Таким образом, находим

Выбор знака перед корнем производился из условия, что в точке А при имеется критическая точка, так что производная должна обращаться в нуль при Но при малых значениях квадратный корень в формуле (2) очень мало отличается от так что при

Далее, из формулы (1) следует, что Поэтому

Интегрируя это соотношение от точки В до В, т. е. от до мы получим

Определив из этого соотношения величину К и подставив ее в (1), мы получим формулу

Таким образом, решение задачи выражается формулами (2) и (5).