3.74. Среднее значение потенциала скоростей.

Докажем следующую теорему, полученную Гауссом.

Среднее значение функции по любой сферической поверхности, внутри которой равно значению этой функции в центре сферы.

Доказательство. Опишем из точки сферу радиуса Тогда по формуле (2) п. 2.63 имеем

Но второй интеграл, согласно формуле (5) п. 2.62, обращается в нуль. Поэтому

Следствие. Функция не моясет иметь ни максимума, ни минимума внутри какой-либо области, в которой

Действительно, если бы в точке значение было максимальным, то оно было бы больше любого значения во всех точках достаточно малой сферы с центром в точке а это противоречит только что доказанной теореме.

Теперь мы можем доказать следующую теорему.

При безвихревом движении скорость достигает максимального значения на границе.

Доказательство. Возьмем за начало координат точку внутри жидкости и проведем ось х по направлению движения в точке Тогда если скорости в точках (точка лежит вблизи то справедливы равенства

Так как производная удовлетворяет уравнению Лапласа, то ее значение в точке не может быть ни максимумом, ни минимумом. Следовательно, в непосредственной близости от точки имеются точки, такие, как, например, в которых значит,

Таким образом, величина не может достигать своего максимального значения внутри жидкости, поэтому максимальное значение скорости, если таковое имеется, должно достигаться на границе.

Следует заметить, что значение может быть минимумом внутри жидкости, так как оно равно нулю в критической точке.

Из вышеуказанных результатов мы можем вывести следующую теорему.

При установившемся безвихревом движении гидродинамическое давление имеет минимальное значение на границе.

Доказательство. По теореме Бернулли имеем

Таким образом, давление достигает наименьшего значения там, где имеет наибольшее значение, а этого не может быть внутри жидкости. Таким образом, давление должно достигать минимального значения на границе. Максимального значения давление достигает в критической точке.