15.31. Кинетическая энергия.

Если движение безвихревое, то кинетическая энергия жидкости, находящейся в какой-либо области, ограниченной поверхностью вращения относительно оси, выражается, согласно п. 3.72, формулой

где элемент нормали, проведенной в жидкости к элементу площади, ограничивающей поверхности. В данном случае где элемент дуги меридиональной криволинейной границы. Очевидно,

так как каждое из этих выражений представляет собой нормальную скорость. Следовательно, имеем

причем интеграл берется по той части меридиональной кривой, которая расположена с одной стороны оси (рис. 299) в направлении, указанном стрелками, при этом жидкость заключена между поверхностями, образуемыми кривыми

Рис. 299.

Если внешняя граница отсутствует, то интеграл тогда берется вдоль дуги в направлении по часовой стрелке. Меняя направление обхода, получаем

где теперь направление обхода берется против часовой стрелки.

Другое выражение для кинетической энергии только через функцию тока можно получить, если учесть, что интегрирование в формуле (1) по частям дает

так как обинтегрированная часть обращается в нуль. Далее, поскольку

то отсюда имеем

При этом интеграл берется вдоль границы в направлении, указанном на рис. 299.