16.20. Концентрические сферы.

Пусть область между твердой сферой радиуса а и концентрической сферической оболочкой внутреннего радиуса заполнена жидкостью (рис. 310).

К сфере и оболочке приложены некоторые импульсы, приводящие в движение сферу со скоростью а оболочку — со скоростью V, направление которой составляет угол а с направлением скорости Чтобы рассмотреть движение в начальный момент времени (сферы будут расположены концентрически лишь в начальный момент времени), примем направление за направление оси х, а начало координат поместим в общем центре этих двух сфер. Тогда граничные условия запишутся в следующем виде:

где между направлением причем представляет собой точку на оболочке.

Декартовы координаты точки равны следовательно, единичный вектор направления равен

Если принять, что направление V лежит в плоскости х, у, то единичный вектор направления V равен

где единичные векторы осей х, у, z соответственно.

Скалярное произведение этих векторов, согласно п. 2.11, выражается в виде

Таким образом, граничное условие (1) показывает, что в функцию будут входить гармонические функции а условие (2) показывает, что, кроме того, будут входить и гармонические функции Поэтому будем предполагать, что

или, возвращаясь к полярным координатам, получим

Отсюда имеем

Тогда из условий (1) и (2) получим уравнения

Эти уравнения должны удовлетворяться при всех значениях и , и поэтому можно получить следующие уравнения

Обозначая для краткости находим

таким образом,

Следует подчеркнуть, что этот потенциал скоростей описывает рассматриваемое движение только в начальный момент времени, когда границы расположены концентрически.