16.50. Эллипсоидальные координаты.

Уравнение

где с фиксированы, некоторый параметр, описывает для любого постоянного значения некоторую центральную поверхность из семейства софокусных поверхностей второго порядка. В частности, если мы имеем эллипсоид. Уравнение (1) сводится к следующему:

которое представляет собой кубическое уравнение относительно и имеет, следовательно, три корня, скажем Это означает, что если задана точка , то существуют три центральные поверхности второго порядка, которые проходят через эту точку Эти поверхности представляют собой эллипсоид, однополостный гиперболоид и двуполостный гиперболоид. Кроме того, эти три поверхности второго порядка являются взаимно ортогональными в точке За доказательством этих утверждений мы отсылаем читателя к книгам по геометрии поверхностей. Мы примем эти утверждения без доказательства.

Поскольку являются корнями уравнения (2), то имеет место равенство

Действительно, функция, стоящая в правой части, обращается в нуль, когда а коэффициенты при справа и слева совпадают.

Если теперь поочередно положить то из равенства (3) получим

Отсюда можно найти если известны Таким образом, числами можно пользоваться для определения положения некоторой точки в пространстве, и мы будем применять эти числа в качестве ортогональных криволинейных координат. Эти координаты называются эллипсоидальными координатами. Поверхности являются софокусными поверхностями второго порядка; мы всегда будем предполагать, что поверхность представляет собой эллипсоид.

Для гидродинамических приложений требуется найти выражение для оператора в эллипсоидальных координатах. В соответствии с п. 2.72 сначала необходимо вычислить коэффициенты Ламэ где

Так как

то, полагая имеем

Из формул (4) с помощью логарифмического дифференцирования получим равенства

таким образом, по формуле (5) найдем соотношение

причем второе равенство получено с помощью формул (4), а третье равенство можно проверить, полагая в нем к равным и получая отсюда отдельные слагаемые второго равенства. Выражения для коэффициентов можно записать сразу же в силу симметрии.

Если рассматривать х, у, z как функции от А, и перейти вдоль нормали от некоторой точки (рис. 315) на поверхности до точки на

поверхности то получим и

где представляет собой угол между отрезком и осью х.

Рис. 315.

Если же, с другой стороны, рассматривать X как функцию от и перейти в направлении х на расстояние сохраняя постоянными, то мы попадем в точку на поверхности и тогда

Следовательно,

Если положить

то по формуле (7) находим

Следовательно,

и

Замечая, что не зависят от X, получим по формуле (3) п. 2.72 для оператора следующее выражение:

Приравнивая это выражение нулю, получаем уравнение Лапласа в эллипсоидальных координатах. Функции, являющиеся решениями этого уравнения, называются эллипсоидальными гармоническими функциями.