3.44. Уравнение движения в форме Лаграижа.

С точки зрения Лагранжа, вместо того чтобы рассматривать отдельную точку пространства, анализируется отдельная жидкая частица и изучается ее перемещение. Независимыми переменными являются вектор начального положения частицы и время Если частица в момент времени занимает положение то так что ускорение частицы равно частной производной следовательно, используя формулу (8) п. 2.71, уравнение движения (1) п. 3.41 можно записать в виде

Умножим это уравнение на символическую диаду Тогда, учитывая формулу (9) п. 2.71, получим уравнение

которое представляет собой уравнение движения в форме Лагранжа; при этом дифференцирование производится по независимым переменным

Если то после интегрирования по времени от до получим уравнение в форме Вебера, а именно

Уравнение неразрывности получается из формулы (1) п. 3.20 в виде

где нулевой индекс относится к начальному положению частицы. Уравнение (3) выражает тот факт, что масса частицы остается неизменной во время движения.

В прямоугольных декартовых координатах справедливы равенства

и

где — якобиан координат вектора относительно координат вектора . В этих обозначениях уравнение неразрывности принимает вид

Поверхность всегда состоит из одних и тех же частиц жидкости тогда и только тогда, когда Это условие означает, что векторная функция не зависит от времени и, следовательно, уравнение поверхности, выраженное в координатах Лагранжа, имеет вид . В частности, это имеет место в случае, когда свободная поверхность жидкости находится в непрерывном движении.

Отметим, что вектор не обязательно должен быть вектором начального положения. С этой целью может быть использован любой переменный вектор, характеризующий положение частицы и непрерывно изменяющийся от одной частицы к другой (см., например, п. 14.80).