5. Уравнение энергии

1) Система уравнений Навье — Стокса и уравнение неразрывности содержат 6 неизвестных: три компоненты вектора скорости плотность давление и коэффициент вязкости Коэффициент вязкости зависит только от температуры и считается обычно заданной функцией абсолютной температуры Г:

Это уравнение содержит новое седьмое неизвестное — абсолютную температуру Абсолютная температура связана с плотностью и давлением уравнением состояния:

В зависимости от характера среды функция имеет ту или иную структуру. В случае газов условимся уравнение состояния брать в форме Клайперона:

где газовая постоянная; в случае несжимаемой жидкости это уравнение заменяется условием

Итак, мы пришли к системе шести скалярных уравнений [три уравнения Навье — Стокса, уравнение неразрывности, уравнения ], которые содержат 7 неизвестных:

Для того чтобы задача могла быть поставлена, необходимо еще одно уравнение.

Таким замыкающим уравнением является уравнение баланса энергии. Будем следить за некоторой массой жидкости, занимающей объем Закон сохранения энергии утверждает, что изменение энергии этой массы жидкости за единицу времени равно мощности внешних сил, притоку энергии извне и мощности внутренних источников энергии:

Энергия массы жидкости состоит из двух слагаемых: кинетической энергии, т. е. энергии макроскопического движения частиц

внутренней энергии, т. е. энергии теплового движения молекул газа или жидкости.

Для газов в общем случае выражение имеет довольно сложную структуру. Мы рассмотрим только случай «совершенного газа», т. е. газа, внутренняя энергия которого определяется только поступательным движением молекул. Это значит, что энергия вращательных степеней свободы молекул пренебрежимо мала по сравнению с энергией поступательного движения. Для этого случая термодинамика дает выражение

где теплоемкость газа при постоянном объеме, связанная с теплоемкостью при постоянном давлении формулой

величина «механический эквивалент тепла» Работа внешних сил складывается из работы массовых сил и работы поверхностных сил

где скорость движения жидких частиц, поверхность, ограничивающая объем

Будем считать, что приток энергии извне происходит только за счет теплопроводности. Тогда, согласно закону Фурье, количество теплоты, поступившее через поверхность в единицу времени (в механических единицах), определяется формулой

где коэффициент теплопроводности.

Кроме того, будем считать, что внутри рассматриваемой массы жидкости нет никаких дополнительных источников энергии (например, за счет химических реакций).

Подставляя в уравнение (35 выражения (36, (37) и (39) -(41), мы можем написать следующее (упрощенное) уравнение баланса энергии:

3) Уравнение - это уравнение баланса энергии в интегральной форме; для того чтобы получить дифференциальное уравнение, надо еще провести ряд преобразований. Прежде всего, заметим, что

(Эти преобразования являются прямым следствием уравнения неразрывности Далее преобразуем интегралы по поверхности, входящие в правую часть уравнения , в интегралы по объему. Прежде всего

где

Применив к этому интегралу формулу Гаусса — Остроградского, после очевидных вычислений получим

Аналогично преобразуем последнее слагаемое в уравнении

Используя формулы , преобразуем уравнение к виду

откуда, в силу произвольности объема получим следующее дифференциальное уравнение:

4) В уравнении (47) надо заменить компоненты тензора напряжений следующими выражениями:

Используя эти формулы и тождественное преобразование

где мы можем уравнению придать следующий вид:

5) Итак, мы получили уравнение, которое замыкает систему уравнений динамики жидкости и газа. Это уравнение можно было бы назвать обобщенным уравнением теплопроводности, поскольку уравнение распространения тепла содержится в нем как некоторый частный случай. В самом деле, предположим, что жидкость покоится; тогда уравнение (49) будет иметь вид

Рис. 5.

Если перепад температур мал, то коэффициент к можно считать независимым от координат и мы приходим к известному уравнению теплопроводности

где коэффициент носит название коэффициента температуропроводности.

Уравнение (50) описывает распространение тепла в покоящейся жидкости за счет механизма теплопроводности. Этот механизм обеспечивает мгновенную скорость распространения тепловых возмущений (см. рис. 5). Предположим, что частице жидкости, находящейся в момент времени в точке х, мы сообщили импульсное возмущение где - дельта-функция, равная нулю всюду, кроме точки и такая, что Тогда распределение температуры в любой момент времени описывается формулой

Мы видим, что каково бы ни было значение абсциссы в любой момент отличный от нуля, температура будет также отлична от нуля.

6) Рассуждения, которые были здесь проведены, относились к случаю покоящейся жидкости, причем молчаливо предполагалось, что если в начальный момент жидкость покоилась, то она будет покоиться и в последующие моменты времени. Это, вообще говоря, не так. В самом деле, если температура изменится, то, согласно уравнению состояния, изменятся плотность и давление, что в свою очередь вызовет движение жидкости. Таким образом, изменение температуры среды вызывает движение жидкости. Задачи распространения тепла и задачу о движении жидкости следует рассматривать совместно. Только в одном частном случае эти задачи могут быть разделены — в случае несжимаемой жидкости при предположении, что коэффициент вязкости не зависит от температуры. Тогда и задача о движении жидкости сводится к решению уравнения неразрывности

и уравнения Навье—Стокса

Определив из этих уравнений вектор и скаляр мы затем сможем определить поле температур из уравнения , которое в этом случае примет вид

7) Из уравнения (54) видно, что, помимо механизма теплопроводности, в распространении тепла играет роль конвективный перенос тепла — перенос за счет движения частиц жидкости. Поэтому тепловые возмущения могут распространяться также и внутри жидкости, лишенной теплопроводности Для того чтобы это пояснить, рассмотрим задачу о движении идеального нетеплопроводного газа, когда уравнение (49) принимает вид

Сделаем некоторые преобразования:

в последнем преобразовании мы использовали уравнение Эйлера

Таким образом, уравнение может быть преобразовано к виду

Исключим дивергенцию скорости при помощи уравнения неразрывности

после чего уравнение примет вид

Используем еще уравнение состояния которое позволит исключить и связь тогда уравнение (57) будет записано в полных дифференциалах:

где Интегрируя, получаем

или

здесь С — постоянная интегрирования, а

Уравнения (58) и (59) описывают адиабатическое расширение газа. Таким образом, уравнение адиабатичности — это частный случай уравнения энергии, написанного для нетеплопроводного идеального газа. В этом случае уравнение (58) или (59) является уравнением, замыкающим общую систему уравнения движения.

Рассмотрим теперь малые возмущения плотности (или давления, или скорости). Они распространяются со скоростью звука. Согласно формуле (58), малые возмущения плотности будут порождать малые возмущения температуры и, следовательно, одновременно с распространением возмущений плотности с той же скоростью будут распространяться тепловые возмущения.

(кликните для просмотра скана)

(кликните для просмотра скана)

(кликните для просмотра скана)

(кликните для просмотра скана)