12.47. Точка разрыва функции w(e).

Функция имеет разрыв в критической точке О, так как ее действительная часть имеет в этой точке два значения, соответствующие двум направлениям потока вдоль касательной в точке кроме того, при приближении к точке О, так как точка О является критической и скорость в этой точке обращается в нуль.

Пусть в точке О касательные к контуру, препятствия образуют между собой угол как это изображено на рис. 232, и пусть внутренняя биссектриса этого угла составляет угол с осью х.

Если точка О является обыкновенной точкой контура, то и касательные служат частями одной линии. Если контур симметричен относительно оси х, то

Если приближаться к точке О вдоль линии то но если приближаться к точке О вдоль то Кроме того, когда функция стремится к бесконечности; то же происходит при

Единственной функцией, удовлетворяющей этим условиям, является функция

Для доказательства этого рассмотрим поведение следующей функции:

когда точка движется внутри или вдоль полуокружности в плоскости.

Рис. 233.

Если мы определим логарифм так, чтобы то функция будет однозначной и аналитической во всех точках внутри полукруга.

Далее, рассмотрим точку совпадающую с точкой на дуге X, (рис. 233). Мы имеем

Если значение берется в точке на дуге то

Таким образом, имеет постоянное значение а на линии и постоянное значение на линии Если величина проходит через точку О, переходя с линии на линию то убывает на величину . Далее, имеем

Но Поэтому, если точка находится на линии X, то

а если точка находится на линии X, то

Кроме того, очевидно, что когда или когда Таким образом, функция обладает всеми требуемыми свойствами. Кроме того, функция принимает действительные значения при действительных значениях и поэтому ее можно продолжить на нижнюю половину круга с помощью зеркального отражения. Отметим также, что

Таким образом, мы выделили особенности функции в точке О и в ее отображении О. Если положим

где

то получим общее решение задачи о струйном обтекании препятствия. При этом функция имеет один разрыв на полукруге плоскости Задавая функцию можно получить те контуры, для которых функции будут давать решение задачи. Обратная задача определения функции со по заданному контуру является, конечно, более трудной и лишь в немногих случаях она была решена полностью.