2.16. Индефинитное, или диадное, произведение.

Для данных двух векторов в дополнение к скалярному и векторному произведению введем индефинитное, или диадное, произведение этих векторов

Это произведение, которое мы назовем диадой, не имеет геометрической интерпретации. Оно представляет собой некоторый оператор, очень полезный при преобразовании векторных выражений. Тензором второго ранга называется сумма диад

Скобки в этом выражении можно опустить.

Определим скалярное произведение некоторого вектора с и диады следующим образом:

Таким образом, скалярное произведение диады и вектора является вектором, причем этот вектор зависит от того, где стоит вектор с: слева или справа от диады.

В качестве примера скалярного произведения диады и вектора можно привести тройное векторное произведение

которое, кроме того, иллюстрирует свойство дистрибутивности определенного выше произведения.

Единичной диадой или идемфактором, называется такой тензор, что для любого вектора а имеют место равенства

Мы докажем существование единичной диады при помощи следующего выражения для нее:

где — взаимно перпендикулярные единичные векторы. На основании разложения (см. п. 2.15) мы можем записать соотношение

и непосредственным составлением соответствующих произведений диад и векторов легко доказать справедливость равенств (1). Рассмотрим тензор

Тензор

полученный перестановкой сомножителей в каждой диаде, называется сопряженным тензору

Если некоторый вектор, то

Если то говорят, что тензор симметричный, и тогда

Если говорят, что тензор антисимметричный, или косой. Если произвольный тензор, то можно записать

Тензор симметричный, так как

Аналогично доказывается, что тензор является антисимметричным тензором. Таким образом, произвольный тензор может быть представлен (причем единственным образом) суммой симметричного и антисимметричного тензоров.

Если в выражении (3) заменить диадное умножение скалярным, то получим скаляр, который называют первым скалярным инвариантом тензора и записывают в виде

Скалярное произведение двух диад определяется равенствами

и снова представляет собой диаду. Произведение диад не меняется при переносе скаляра

Из дистрибутивности скалярного произведения диад следует, что скалярное произведение двух тензоров второго ранга есть снова тензор второго ранга.

Если мы возьмем первый скалярный инвариант от правой части равенства (8), то получим скаляр, который называется двойным скалярным произведением диад и означает следующее:

Отсюда видно, что двойное скалярное произведение диад коммутативно.

Из дистрибутивности этого произведения выводится двойное скалярное произведение двух тензоров :

Отсюда следует, что скалярное произведение тензоров не меняется, если оба тензора заменить на их сопряженные тензоры.

Так, если симметричный, антисимметричный тензоры второго ранга, то

Следовательно, , т. е. двойное скалярное произведение симметричного и антисимметричного тензоров равно нулю.