11.52. Уравнение свободных линий тока.

Сделаем следующие общие замечания.

(I) На свободной линии тока величина действительна, так как линия тока отображается на действительную ось плоскости

(II) На свободной линии тока где угол как обычно, указывает направление касательной, элемент дуги линии тока.

(III) Если точка на свободной линии тока, то

(IV) На свободной линии тока .

(V) Если постоянная скорость вдоль свободной линии тока, то

Из замечаний (V) и (I) следует, что на свободной линии тока выполняются равенства

причем берется знак или смотря по тому, увеличивается ли величина вместе с увеличением или нет.

Вышеуказанные замечания применимы ко всем задачам, которые решаются так же, как и задача о насадке Борда.

Для применения этих замечаний к данной задаче возьмем за начало координат точку В плоскости и рассмотрим свободную линию тока Когда мы идам вдоль этой линии от точки В в плоскости то величина уменьшается от 1 до в плоскости Следовательно, производная отрицательна. В силу формулы (1) п. 11.51 имеем

Далее в силу замечания (IV) из формулы (2) п. 11.51 получим

Таким образом,

Следовательно, в силу формулы (1) имеем

Подставляя это соотношение в формулы замечания (III) и учитывая, что обе координаты и у обращаются в нуль при находим следующие выражения:

После интегрирования получаем

Эти уравнения позволяют начертить линию тока

Теперь в точке имеем и, следовательно,

Таким образом, согласно рис. 200, на плоскости имеем

откуда . Этот результат был получен Борда.