14.82. Точное решение для безвихревой волны.
Уравнение Джона (3) п. 11.63 можно применить также к волновому движению.
Рассмотрим установившееся движение, которое получится, если положить
где 
— постоянная величина с размерностью 
Тогда имеем
где без потери общности можно положить 
а величину а считать действительной и положительной, так что
Тогда из формулы (4) п. 11.63 получим
отсюда
Свободная поверхность, определяемая уравнением (3), есть трохоида без двойных точек, если амплитуда 
причем длина волны равна
Таким образом, условие 
означает, что 
Скорость 
становится бесконечной, если 
это дает
где 
любое целое число. Соответствующие значения 
являются особыми точками
Такие особенности должны быть исключены из потока. Для осуществления этого можно взять в качестве дна линию тока, проходящую через особые точки или выше особых точек, задаваемых уравнением (7).
На рис. 284 (взятом из статьи Джона) изображена свободная поверхность и поверхность дна, образованная линией тока, проходящей через особые точки для различных значений отношения 
Единицы измерения на диаграмме выбраны так, что 
При малых значениях отношения 
глубина жидкости велика по сравнению с величиной а, величина к имеет порядок 
а амплитуда поверхности дна является бесконечно малой величиной порядка 
по сравнению с амплитудой свободной поверхности. С другой стороны, когда отношение 
близко к величине 
глубина жидкости мала и поверхность дна имеет сходство со свободной поверхностью. При движении, описываемом формулами (3) и (4), свободная поверхность не изменяется со временем и каждая частица имеет горизонтальную скорость, изменяющуюся от 
до 
Введем новую систему координат, движущуюся относительно старой вправо с постоянной горизонтальной скоростью 
Тогда мы получим
движение типа прогрессивной волны. Чтобы сделать это, напишем формулы (3) и (4) в виде
отсюда имеем
Если исключим величину 
то увидим, что 
есть функция только от 
так что волна распространяется налево со скоростью 
Рис. 284.
Поскольку особые точки теперь не являются неподвижными, мы должны связывать движущуюся поверхность дна с волной. При малых значениях отношения 
поверхность дна может быть взята так глубоко, что движение сведется к бесконечно малому движению жидкости бесконечной глубины. Фазовая скорость 
равна 
как и по классической теории.
При движении, задаваемом формулами (3) и (4), величина а является координатой Лагранжа только для действительных значений, соответствующих частицам, находящимся на свободной поверхности. Движение поверхностных частиц аналогично движению трохоидальной волны Герстнера (п. 14.81), задаваемой формулой
где а — координата Лагранжа даже для комплексных значений, а результирующее движение жидкости является вихревым.
