9.22. Кинетическая энергия.

Если круговой цилиндр радиуса а движется в жидкости поступательно со скоростью то кинетическая энергия жидкости определяется по формуле

Кроме того,

Далее, на поверхности цилиндра так что

Пусть Очевидно, есть масса жидкости (приходящаяся на единицу толщины), вытесненная цилиндром.

Тогда если масса цилиндра, приходящаяся на единицу толщины, то общая кинетическая энергия жидкости и цилиндра равна

Обозначим через внешнюю силу, действующую в направлении движения цилиндра и необходимую для поддержания его движения. Тогда мощность силы должна быть равна скорости увеличения общей кинетической энергии и, следовательно,

Если бы жидкость отсутствовала, второй член в левой части последнего уравнения обратился бы в нуль. Таким образом, вследствие присутствия жидкости цилиндр при движении испытывает сопротивление, величина которого (приходящаяся на единицу толщины жидкости) равна

9.221. Виртуальная масса.

Из последнего уравнения п. 9.22 следует, что присутствие жидкости увеличивает массу движущегося цилиндра от до где масса вытесненной жидкости. Масса называется виртуальной массой цилиндра. Виртуальная масса получается увеличением массы цилиндра на присоединенную массу, или гидродинамическую массу, которая в случае кругового цилиндра равна Заметим, что эта гидродинамическая масса равна дрейф-массе вычисленной в п. 9.21. Оказывается, что все движущиеся тела, если движение происходит в некоторой сплошной среде, как бы приобретают добавочную массу, так что во всех динамических экспериментах массы проявляются как виртуальные массы типа где коэффициент зависит от формы тела и типа движения. Дарвин в цитированной выше статье доказал, что для тела, движущегося прямолинейно в неограниченной жидкости, гидродинамическая масса равна дрейф-массе, т. е.

а в случае кругового цилиндра

9.222. Виртуальная масса в двумерном движении.

Рассмотрим цилиндр произвольной формы, совершающий в неограниченной жидкости прямолинейное плоское движение со скоростью . В системе координат, связанной с цилиндром, течение описывается комплексным потенциалом Если ввести потенциал скорости и функцию тока то

получим

Так как функция описывает возмущение, вносимое в течение присутствием цилиндра, то эта функция должна стремиться к нулю на бесконечности и, следовательно, может быть разложена в ряд по отрицательным степеням Отсюда следует, что и функции могут быть разложены в ряды по отрицательным степеням причем члены рядов будут стремиться к нулю на бесконечности. Таким образом, мы имеем

Граничные условия могут быть выражены или в виде

или в виде

где направляющие косинусы внешней нормали на границе тела, а индексы означают частное дифференцирование. Движение частицы задается уравнениями

Функция тока дает один интеграл этих уравнений вида

где постоянная определяет асимптоты к линиям тока в . Кроме того, вследствие уравнений Коши-Римана (1) п. 6.0 имеют место равенства

где якобиан. Таким образом, величина дрейфа задается формулой

Здесь в подинтегральном выражении необходимо перейти от переменных х, у к переменным Тогда интегрирование должно производиться по переменной при постоянной

Дрейф-объем определяется теперь по формуле

Здесь область интегрирования распространяется на всю плоскость движения, кроме поперечного сечения цилиндра. Но важно заметить, что интеграл сходится не абсолютно и может принимать разные значения в зависимости от порядка интегрирования. В настоящем случае, без сомнения, должно быть выполнено сначала интегрирование по а после — по Так как вдалн от цилиндра функция [что видно из формул (2) и (3)], то в последнем интеграле формулы (9) первым должно быть выполнено интегрирование по х. Это означает, что величина

вычисляется следующим образом: надо взять интеграл по области затем Яиц устремить к бесконечности. Тогда порядок стремления к бесконечности должен быть больше, чем порядок стремления Рассмотрим возможные значения интеграла

Применим теорему Стока и введем функцию тока тогда рассматриваемый интеграл преобразуется к виду

где обозначает интегрирование по поверхности тела, а -интегрирование по поверхности, удаленной на бесконечность. Далее, вследствие условия (4) величина постоянна на поверхности тела, поэтому соответствующий интеграл обращается в нуль, тогда как

где -объем тела.

Таким образом, первый член правой части равенства (11) всегда дает — Что касается второго члена, то определим область интегрирования как «ящик» и и должны быть устремлены в бесконечность. Подставим формулу (3) в последний член равенства (11), тогда легко видеть, что только один член ряда дает интеграл, отличный от нуля. В результате получим

Таким образом, крайними значениями, которые может принимать интеграл являются величины

Покажем, что величина (15) пропорциональна гидродинамической массе. Мы уже видели, что когда велико по сравнению с то формула (9) определяет дрейф-объем, так что в этом случае Однако существуют и другие интерпретации. В системе координат, в которой движется тело, скорость жидкости в направлении оси х равна Общийрасход жидкости через любую трансверсальиую плоскость равен

Полный перенос жидкости равен интегралу по времени от последнего выражения; интеграл по времени, умноженный на величину V, есть интеграл по х, который равен интегралу Отсюда следует, что интеграл по времени равен Здесь интегрирование по у проводится первым, т. е. мы должны взять по порядку большим, чем , и в результате интегрирования (см. формулу (14)] мы получаем величину , количество жидкости, вытесненной телом.

Если — плотность жидкости, то количество движения жидкости выражается интегралом

Кинетическая энергия жидкости равна

Этот интеграл является абсолютно сходящимся и определяет гидродинамическую массу Но если гидродинамическая масса входит в выражение для кинетической энергии, то она должна также входить в выражение для количества движения. Поэтому равенства (16) и (17) должны быть взаимосвязаны. Это и на самом деле следует из равенств (16) и (17). Составим разность

Здесь мы воспользовались теоремой Стокса и равенством

Далее, вследствие формулы (5) на поверхности тела тогда как на бесконечности, как следует из формулы (2), Поэтому только главный член в разложении (2) дает отличный от нуля интеграл в формуле (18), который равен Таким образом, если мало по сравнению с то из формул (15) и (18) следует

т. е. гидродинамическая масса равна

Это доказывает, что в безграничной жидкости дрейф-объем определяет гидродинамическую массу. Таким образом, присоединенная масса действительно представляет собой массу жидкости, заключенную в цилиндре.

Рис. 165.