2.20. Криволинейные, поверхностные и объемные интегралы.

В этом пункте вводятся понятия криволинейного, поверхностного и объемного интегралов, поскольку впоследствии мы будем использовать эти термины. Здесь не будут излагаться методы вычисления таких интегралов или условия, при которых они существуют, так как вопросы освещены в курсах математического анализа. Однако в отдельных случаях при решении примеров нам придется делать численные оценки интегралов.

Рис. 30.

Пусть некоторая дуга заданной кривой (необязательно плоской). Точками разобьем дугу А В на частей длины каждая из которых меньше и возьмем точки по одной на каждой части разбиения. На рис. 30 показан случай разбиения при

Пусть или для краткости просто есть функция, значение которой известно в каждой точке кривой и пусть функция в точках принимает значения Тогда мы можем составить сумму

Если число неограниченно возрастает и в то же время стремится к нулю, то линейный интеграл от функции вдоль прямой или криволинейный интеграл от вдоль кривой определяется равенством

Это определение справедливо независимо от того, является ли функция вектором или скаляром.

Если функция вектор, то сумма в формуле (1) представляет собой векторную сумму, которая может быть получена по закону сложения векторов, и интеграл тогда является векторной величиной.

Если функция константа, т. е. имеет одно и то же значение с в каждой точке дуги то из формулы (1) видно, что сумма равна где -длина дуги . В этом случае величина интеграла равна

Если функция является скаляром и удовлетворяет неравенству

где фиксированные числа, то ясно, что выполняются следующие неравенства:

и, следовательно,

откуда получим соотношение

Пусть единичный вектор, направленный по касательной к элементу дуги Тогда определим вектор равенством Вектор представляет собой направленный элемент дуги кривой теперь мы можем записать тождество

Рис. 31а.

Таким образом, интеграл слева определен через известный уже интеграл. Здесь X может быть скаляром или вектором, а произведение под знаком интеграла может быть скалярным, векторным или диадным.

Чтобы определить поверхностный интеграл от функции по поверхности (не обязательно плоской или замкнутой), разобьем поверхность на элементы, у которых площади равны а наибольшие линейные размеры не превосходят (рис. 31а).

Если обозначить значения функции в точках взятых на элементарных площадках, через то мы можем образовать сумму

Тогда интеграл от функции по поверхности определяется равенством

Это определение справедливо и для скалярных и для векторных функций.

Если функция имеет постоянную величину с на поверхности то поверхностный интеграл равен с А, где — площадь поверхности Кроме того, если функция удовлетворяет неравенству (2), то

Если единичный вектор, направленный вдоль внешней нормали к элементу замкнутой поверхности то

так как легко заметить, что проекция этого вектора на любую фиксированную плоскость равна нулю.

Часто бывает удобно заменить произведение вектором который представляет собой элемент площади поверхности, направленный вдоль нормали к ней (ср. п. 2.12). При помощи этого обозначения соотношение (3) принимает вид

В общем случае мы приходим к рассмотрению интегралов типа

где X может быть скаляром или вектором, а умножение скалярным, векторным или диадным.

Рис. 31б.

Чтобы определить интеграл по объему, рассмотрим объем V, заключенный внутри замкнутой поверхности (рис. 31 б). Разобъем этот объем на элементарные объемы , у которых максимальные линейные размеры не превосходят 8. Если обозначить значения функции в точках взятых внутри элементарных объемов, через то можно составить сумму

Тогда интеграл от функции по объему V определяется следующим образом:

Это определение снова применимо и к векторным и к скалярным функциям.

Если функция имеет постоянную величину с, то интеграл равен а если удовлетворяет неравенству (2), то справедливо соотношение

Замечание. Мы пишем один знак интеграла, когда используем только один дифференциал или Если мы используем два дифференциала, то будем писать два знака интеграла. Так, если запишем