4.20. Двумерное установившееся движение жидкости.

В п. 2.40 мы рассматривали общий вид движения жидкости. В этом пункте мы подробно исследуем двумерное установившееся движение жидкости.

Рассмотрим две соседние линии тока и (рис. 64). Поскольку движение установившееся, линии тока являются траекториями частиц жидкости. Частица, находящаяся в момент времени в точке А, в момент времени будет находиться в точке А. Проведем нормали и к линии пусть они пересекаются в центре кривизны О. Пусть элемент нормали, которая считается положительной по направлению к точке О. Отложим вдоль и отрезки и равные

Рис. 64.

Жидкость, занимающая в момент времени призму с квадратным основанием займет в момент времени призму с основанием в виде ромба так как если скорость в точке А, то скорость в точке равна

Пусть прямая образует угол а с нормалью Так как диагональ ромба делит пополам угол то угол равен поэтому образует с угол определяемый формулой

где - угол между нормалями в точках

Следует отметить, что мы рассматриваем движение бесконечно малого элемента в течение бесконечно малого промежутка времени и поэтому углы бесконечно малы.

Теперь очевидно, что за время элемент жидкости испытывает следующие изменения (рис. 64, 65):

(I) перенос, при котором центр квадрата перемещается в центр ромба ;

(II) вращение, при котором ось симметрии поворачивается на угол и переходит в линию Этот угол положителен, если измеряется против часовой стрелки;

(III) чистая деформация, при которой все линии, параллельные удлиняются, а все линии, параллельные сокращаются в одинаковом отношении.

Эти искажения вызваны чистой деформацией, которая превращает квадрат в ромб. Искажения по существу обусловлены скоростью точки относительно точки А.

Рис. 65.

Вращение и деформация отсутствуют только в том случае, если движение является исключительно переносом.

Имеющая здесь место чистая деформация характерна не только для движения жидкости, но характерна для любой субстанции, способной изменять форму.

Скорость переноса измеряется пределом отношения когда т. е. величиной скоростью жидкости в точке А. Для вычисления вращения имеем соотношения

где есть радиус кривизны дуги в точке А,

Из (1) находим

таким образом,

и, следовательно, вращение равно

Скорость вращения равна

Так как скорость вращения равна половине вихря, то для вихря имеем формулу

В двумерном движении вектор вихря перпендикулярен плоскости движения и поэтому имеет фиксированное направление. Таким образом, в двумерном случае вектор вихря имеет много свойств скалярной величины и под вихрем здесь следует понимать вообще только скалярную величину .

Приравнивая поток сквозь (см. рис. 64) потоку через мы найдем уравнение неразрывности в форме

где радиус кривизны в точке А кривой, ортогональной линии тока (см. п. 19.82).

Для расчета деформации находим удлинение, т. е. отношение приращения отрезка к первоначальной его длине, а именно

Теперь имеем

так что

Поскольку а бесконечно мало, то это соотношение дает

следовательно, применяя биномиальное приближение

получаем поэтому величина удлинения выразится

а скорость удлинения равна

Подобные расчеты показывают, что скорость сжатия отрезка дается таким же соотношением.

Ясно, что и соответственно являются направлениями максимальной скорости удлинения и сжатия. Линии, параллельные не испытывают ни удлинения, ни сжатия.

Следовательно, деформация является сдвигом, при котором линии, параллельные движутся вперед со скоростью, которая увеличивается линейно относительно их расстояний от