6.35. Общий метод.

Рассмотрим цилиндр с поперечным сечением С, помещенный в поток, комплексный потенциал которого равен Аналогично тому, как были введены эллиптические координаты, введем функцию

определяющую систему координат в которой кривая С задается уравнением Тогда на кривой С. Таким образом, комплексный потенциал

на кривой С принимает действительные значения. Следовательно, кривая С является линией тока

Далее, комплексный потенциал равномерного потока можно представить в виде

Мы будем предполагать, что функция содержит лишь члены, обращающиесяв нуль на бесконечности. Если мы добьемся, кроме того, чтобы функция сопряженная функции из последнего равенства, обращалась в нуль на бесконечности, то искомый потенциал обтекания будет иметь следующий вид:

Так, например, для эллипса мы имеем тогда из равенства (3) получаем

Следовательно,

что совпадает с равенством (1) п. 6.33.

Чтобы определить искомую систему координат, предположим, что кривая С задана в параметрическом виде уравнениями Возьмем вместо параметра переменную тогда получим соотношение

которое обладает требуемыми свойствами.

Так, например, в случае эллипса и мы приходим к соотношению

которое после подстановки переходит в известное соотношение для эллиптических координат.

Заметим, что содержание этого пункта представляет собой общий метод решения рассматриваемых задач. Частный вид выражения для системы координат, использованного здесь для иллюстрации общих положений, нисколько не ограничивает общности данного метода.