18.51. Сферический вихрь Хилла.

Только что найденная функция тока будет описывать движение внутри некоторой неподвижной сферы радиуса а, если значение будет оставаться конечным во всех точках внутри сферы, а нормальная скорость будет обращаться в нуль на границе. Эти условия означают, что и

откуда Итак, функция

удовлетворяет требуемым условиям, какова бы ни была величина А.

Вихрь, который можно найти непосредственным вычислением или по формуле (3) из п. 18.50, при этом будет равен . Вихревые линии будут представлять собой окружности, расположенные в плоскостях, перпендикулярных к оси симметрии. На всех таких окружностях с одинаковым радиусом вихрь имеет одинаковое значение.

Рис. 330.

В меридиональной плоскости имеются критические точки, которые определяются решениями совместных уравнений т. е.

откуда Таким образом, существует кольцо критических точек, имеющее радиус

Поверхности тока определяются уравнением

где с — некоторая постоянная величина. В эти поверхности тока входят также сама сфера и ось симметрии, которые разделяют течение. Соображения о разделяющей линии тока дают тогда нам возможность построить общую форму линий тока в меридиональной плоскости (рис. 330); линии тока здесь стягиваются вокруг критических точек.

Если воспользоваться произвольностью постоянной А, то можно установить следующее интересное обстоятельство: такой вихрь может находиться в покое в окружающей жидкости, которая обтекает его. Функция тока для течения около сферы в соответствии с п. 15.30 имеет вид

При уравнения (1) и (2) показывают, что и что нормальная скорость на границе равна нулю. Для того чтобы такое движение могло существовать, должна иметь место также непрерывность касательной скорости на границе. Тогда, приравнивая величины получаем

следовательно, функция тока (1) для внутреннего движения примет вид

Если на всю рассматриваемую систему наложить скорость направленную слева направо, то будем иметь сферический вихрь радиуса а, движущийся со скоростью в жидкости, которая покоится на бесконечности. Внешнее по отношению к вихрю движение жидкости является безвихревым и таким же, как движение, которое создается движущейся сферой такого же радиуса.