3.54. Сохраняемость вихревых линий.

Если невязкая жидкость движется под действием консервативных сил и давление является функцией плотности, то вихревая линия состоит всегда из одних и же частиц и, следовательно, движется вместе с жидкостью.

Доказательство. Пусть линия, состоящая из частиц жидкости, определена параметром Лагранжа а, так что в момент времени радиус-вектор частицы равен Тогда в момент касательная к линии имеет направление вектора

По определению вихревой линии вектор вихря касается этой линии и, таким образом, если вектор вихря в момент времени то мы имеем

где скаляр и эти соотношения эквивалентны. Из формулы (7) п. 3.53 для момента времени мы имеем

так что та же частица а находится все еще на вихревой линии.

Таким образом, вихревая линия движется вместе с жидкостью подобно материальной субстанции. Кроме того, эта линия не может исчезнуть, так как мы доказали, что вихревое движение сохраняется.

Отсюда следует, что если в реальной жидкости вихревая линия исчезла, то причиной этого является внутреннее трение.