12.46. Лобовое сопротивление, подъемная сила и момент.

Пусть результирующая сила, действующая со стороны жидкости, имеет компоненты вдоль осей координат, имеющих начало в точке О плоскости Тогда, согласно теореме Чаплыгина-Блазиуса, имеем

Так как то отсюда получаем

Здесь интеграл берется по дуге полукруга в плоскости

Рассмотрим теперь аналитическое продолжение (см. п. 5.53) функции на всю область внутри круга изображенного на рис. 231. Имеем

Рис. 231.

С другой стороны, величина принимает действительные значения, когда описывает дугу (см. рис. 229) и поэтому Кроме того, когда описывает дугу окружности круга против часовой стрелки, то описывает дугу по часовой стрелке. Таким образом, мы имеем

Следовательно, остается вычислить вычет подинтегральной функции относительно единственного внутри круга полюса; этот полюс находится в точке

Применяя разложение в ряд Маклорена и учитывая, что получаем

Кроме того,

Перемножив эти два выражения и выделив в результате коэффициент при находим вычет в следующем виде:

Таким образом, применяя теорему о вычетах, мы имеем

отсюда

где X — лобовое сопротивление, -подъемная сила. Эти изящные результаты принадлежат Леви — Чивита.

Момент действующих сил относительно критической точки О находится с помощью аналогичных вычислений и равняется действительной части следующего интеграла:

который берется по полуокружности в плоскости и который должен быть вычислен в каждом частном случае. Знание величин позволяет методами статики найти одну силу, эквивалентную действию жидкости на препятствие. Эта сила всегда существует, если только не равны нулю.

Рис. 232.