20.31. Уравнение в плоскости годографа для гомэнтропического течения.

Исходя из адиабатического соотношения введем в качестве переменной безразмерную скорость

Заметим, что и что

Тогда нетрудно показать, что уравнение Бернулли можно представить в форме

а уравнения в плоскости годографа примут вид

Исключая отсюда придем к уравнению Чаплыгина (5) п. 20.30 в новых переменных, а именно

Так как это уравнение является линейным относительно то его решение можно искать в виде суперпозиции элементарных решений типа

где произвольные постоянные. Подстановка этого выражения в уравнение (4) приводит к гипергеометрическому уравнению

которому удовлетворяет гипергеометрическая функция

где

Соответствующее решение находится тогда из уравнения (3) и имеет вид

При или решения получаются в замкнутой форме. Случай является исключительным, и решения уравнений (3) здесь можно представить в виде

Отсюда следует, что соответственно или являются функциями одного только Решения (8) включают решения для источника (см. п. 8.90) и для вихря (см. п. 13.80) в физической плоскости, а также более общий случай спирального течения, которое получается комбинацией течений источника и вихря и было рассмотрено для несжимаемой жидкости в п. 13.33.

20.32. Случай ...

В этом случае уравнение (6) п. 20.31 приобретает вид

Отсюда

Таким образом, в этом случае имеется пара фундаментальных решений

В соответствии с первым решением из уравнений (5) и (7) п. 20.31, в которых положим (что, очевидно, допустимо) и получим равенства

В соответствии со вторым решением уравнения (1) получим равенства

Когда (и, следовательно, течения, определяемые равенствами (2) и (3), превращаются в течения несжимаемой жидкости, определяемые формулами

Если является комплексным потенциалом, соответствующим уравнениям (4), то

и, следовательно, Отсюда

Таким образом, здесь линии представляют собой софокусные параболы (см. пример 20 гл. 6).

Рис. 341.

Если из этих парабол взять какие-либо две [например, (а) и (б) на рис. 341] в качестве границ течения, то получим течение несжимаемой жидкости в плоском канале или внутри сопла. Поперечное сечение этого сопла меняется следующим образом. Начиная от сечения где скорость равна нулю, сопло сужается. В точке С сопло имеет самое узкое сечение, а затем расширяется до сечения где скорость снова равна нулю. Можно ожидать, что решения (2) и (3) представляют собой течения типа, подобного в каком-то отношении вьпперассмотренному течению. Течение, описываемое уравнениями (2), изучил Ринглеб, а течение, описываемое уравнениями (3), изучил Темпл.