17.50. Установившееся поступательное движение.

Если движение является установившимся и тело не вращается, то воздействие жидкости на тело сводится к нулевой силе (парадокс Даламбера) и паре сил

Эта пара (см. п. 6.42) стремится повернуть тело; она обращается в нуль тогда и только тогда, когда обращается в нуль написанное выше векторное произведение, т. е. в том случае, когда векторы параллельны.

Следовательно, в этом случае скорость и направлена по нормали к эллипсоиду

где с — постоянная величина. По формуле (2) п. 17.20 для получим уравнение этого эллипсоида в виде

Направление и может быть параллельно нормали к эллипсоиду только в том случае, когда вектор и направлен вдоль одной из главных осей эллипсоида.

Поскольку у эллипсоида имеются три главные оси, то отсюда следует, что в пространстве существуют три взаимно перпендикулярных направления, таких, что если тело движется без вращения вдоль одного из этих направлений, то оно будет продолжать такое движение.

Рис. 319.

Эти направления называются направлениями установившегося поступательного движения.

Пусть тело движется со скоростью и по направлению установившегося поступательного движения. Пусть имеется малое возмущение, вызванное изменением скорости от величины и до и сообщением телу угловой скорости со, где и со в начальный момент времени являются бесконечно малыми. Тогда, если пренебречь членами, содержащими квадраты этих величин, то уравнения Кирхгофа станут линейными. Исследование устойчивости движения связано с решением этих уравнений и является, за исключением некоторых симметричных случаев, довольно сложным делом. Мы можем, однако, получить суждение об устойчивости движения из следующего соображения, при котором мы не будем учитывать влияние

Пусть рассматриваемое тело является эллипсоидом, тогда величина определяется выражением, полученным в п. 16.52. Вычисления показывают, что наибольшая ось эллипсоида (2) будет направлена по направлению наименьшей оси рассматриваемого тела — эллипсоида, и наоборот (см. рис. 319).

На этом рисунке показано также направление пары (1). Если эллипсоид движется в направлении своей наименьшей оси то пара (1) стремится ликвидировать любое малое отклонение движения от этого направления. Наоборот, если направление движения совпадает с наибольшей осью эллипсоида то эта пара будет увеличивать любое отклонение движения. Если же направление движения совпадает с направлением средней по величине оси эллипсоида 5, то в зависимости от направления скорости возмущения эта пара будет либо восстанавливать это движение, либо нет. Таким образом, когда в жидкости движется тело произвольного вида, то движение будет устойчивым только в том случае, если тело движется вперед своей широкой стороной.

Сделанное выше замечание дает принципиальное объяснение многим, хорошо известным явлениям. Например, для удержания корабля на курсе необходимо рулевое управление; воздушный корабль продолговатой формы также требует подобного управления. Парусный корабль при брошенном руле не будет все время идти по ветру, а будет стремиться расположиться под прямым углом к ветру. Тело, погружающееся в жидкость, стремится погружаться так, чтобы наибольший размер тела принимал горизонтальное положение.

Наконец, можно отметить, что, для того чтобы неподвижно удерживать тело в равномерном потоке со скоростью и, требуется пара

где кинетическая энергия жидкости, когда эта жидкость покоится, а тело движется со скоростью и.

Таким образом, на тело, находящееся в равномерном потоке, всегда действует пара, кроме тех случаев, когда тело ориентировано в потоке по одному из трех направлений, соответствующих направлениям установившегося поступательного движения. Этот вывод можно рассматривать как дополнение к парадоксу Даламбера.

17.51. Установившееся вращение. Когда тело находится в установившемся вращении, не совершая при этом поступательного перемещения, то , а на тело действует пара с моментом

Этот момент обращается в нуль, когда векторы и параллельны, т. е. когда ось вращения параллельна нормали к эллипсоиду

Следовательно, существуют три оси установившегося вращения; эти оси взаимно перпендикулярны, но не обязательно пересекаются, так как указанный эллипсоид определяет только направление, а не положение этих осей.