3.3.16. Векторный потенциал магнитного поля, возбужденного током.

Рассмотрим электрический заряд перемещающийся со скоростью Он эквивалентен электрическому току силы текущему по элементу длины

Величина положительна, если направление тока совпадает с направлением вектора

Магнитное поле, создаваемое рассматриваемым движущимся зарядом на расстоянии от этого заряда, равно (формула Био - Савара — Лапласа)

Так как то для вектора В существует векторный потенциал А. Определим его. Имеем

В пустоте

поэтому

Преобразуем формулу (66):

Сравнивая полученную формулу с формулой (22), найдем, что

Применим полученную формулу для случая тока, текущего по проводу. Это важный частный случай движения заряженных частиц. Пусть элемент поверхности, через который проходит ток -вектор плотности тока.

Имеем Используя формулы (64) и (65), получим выражение для векторного потенциала тока в проводе А через интеграл, распространенный на объем рассматриваемого провода:

Рис. 3.23.

Применение этой формулы к электрической цепи, по которой идет ток, может привести к некоторым затруднениям. Рассмотрим, например, случай бесконечного прямолинейного провода. Пусть его сечение а сила тока в нем Выделим мысленно отрезок и найдем векторный потенциал, созданный током, текущим по этому отрезку. Рассмотрим точку отстоящую от на расстоянии (рис. 3.23). Так как векторный потенциал обладает осевой симметрией относительно то при определении точки достаточно указать абсциссу точки и расстояние

Пусть любая точка отрезка абсциссы точек относительно фиксированной точки О. Обозначим через расстояние Имеем Поэтому формула (67) дает следующее выражение для векторного потенциала

а так как

то

Для перехода к бесконечному прямолинейному току нужно устремить соответственно к При этом векторный потенциал также стремится к бесконечности.

Следует заметить, однако, что магнитное поле В рассматриваемого тока конечно. Поэтому должны быть конечны частные производные векторного потенциала А, так как

Положим в формуле и полученную постоянную величину вычтем из правой части этой формулы. Имеем с точностью до потенциала в фиксированной точке:

Если теперь устремить соответственно

Так как векторный потенциал определяется лишь с точностью до градиента скалярной функции (см. п. 3.2.18), то можно написать

Векторный потенциал тока в проводнике с любым поперечным сечением (рис. 3.24) выражается через поверхностный интеграл:

Рис. 3.24.