4.1.30. Матрица, отнесенная к собственным направлениям.
Предположим, что характеристическое уравнение 
имеет лишь простые корни. Тогда 
собственных направлений различны. Их можно принять за оси координат.
Пусть 
корни уравнения 
Докажем, что в новой системе координат матрица а получит вид
Это, очевидно, диагональная матрица; она сообщает вектору на I-й оси лишь удлинение или сокращение в 
раз. Обозначим через 
проекцию на ось 
собственного вектора, соответствующего собственному значению 
Тогда матрицей преобразования координат о станет матрица 
Произведение 
представит в этом случае преобразование матрицы а в системе координат, оси которой имеют направления собственных векторов а. Это будет, следовательно, матрица (8).
Пример. Обратимся к примеру п. 4.1.28. Матрица о и обратная ей матрица 
равны, (с точностью до коэффициентов 
Произведение 
будет
