4.1.27. Ортогональное преобразование комплексного пространства (унитарное преобразование).
Ортогональное комплексное пространство называется унитарным. Определим характер матрицы
, преобразующей унитарное пространство в другое такое же. Для этого достаточно, чтобы сохранялись длины векторов, т. е. модуль вектора, представленного двумя матрицами
был инвариантен. Поэтому
Рассуждение такое же, как в п. 4.1.22, приводит к следующему условию, которому должна удовлетворять матрица
:
Следовательно, унитарная матрица такова, что ее эрмитово-сопряженная и обратная матрицы совпадают. Если бы матрица была вещественной, то мы имели бы
и пришли бы к уже известной формуле
Легко доказать, что формула (4)
справедлива и в комплексном пространстве. Если а — унитарная матрица, то (4) принимает вид