4.1.29. Свойства характеристического уравнения.
Расположим определитель 
по убывающим степеням X:
Коэффициент 
не что иное, как сумма элементов главной диагонали Эту сумму называют следом матрицы. След матрицы по теореме Виета равен сумме ее собственных значений.
Коэффициент 
равен определителю 
матрицы. Значит, по той же теореме 
равен произведению собственных значений а.
Мы докажем важное свойство характеристического уравнения: оставаться инвариантным при всех преобразованиях системы координат. Действительно, характеристический многочлен является определителем матрицы
Преобразуем систему координат с помощью матрицы о. Тогда матрица х преобразуется по формуле (4)
Характеристический многочлен матрицы 
равен определителю матрицы
Очевидно,
Тогда из предыдущего ясно, что
Произведение определителей коммутативно. Поэтому после деления обеих частей равенства на 
имеем
Это и показывает инвариантность характеристического уравнения 
