7.8.3. Производящая функция и ортогональность полиномов Эрмита.

Рассмотрим функцию и разложим ее в ряд по возрастающим степеням

Можно сразу заметить, что Функция удовлетворяет уравнению

В (204) заменим на ряд (203). Приравняв нулю коэффициент при члене, содержащем получим

Это рекуррентная формула, совпадающая с (198). Так как, кроме того, то

Отсюда получаем

Функция, стоящая слева, называется производящей функцией для полиномов Эрмита.

Если умножить обе части (205) на то, в силу формулы (187), найдем производящую функцию для функций Вебера — Эрмита:

Исследуем ортогональность функций Вебера — Эрмита. Вычислим интеграл

Положим и применим формулу (197). Имеем

Интегрируя по частям, получим

Внеинтегральный член является произведением полинома на Он равен нулю при Интегрирование по частям, повторенное раз, дает

Но следовательно,

Если формула (206) дает

Все это показывает, что если функция удовлетворяет условиям п. 2.1.0 (условиям Дирихле), то ее можно разложить в ряд по полиномам Эрмита:

где

Если предпочесть разложение в ряд вида

то коэффициенты определяются еще проще:

Вычисления упрощаются, если взять функции Вебера — Эрмита сразу в ортонормированной форме:

То же относится и к полиномам Эрмита:

Замечание. Часто встречается определение полиномов Эрмита, отличающееся от только что рассмотренного, а именно

Между этими двумя видами полиномов существует простое соотношение