9.2.5. Сходимость по вероятности.
Говорят, что случайная функция
сходится по вероятности к случайной величине
при
если при любом
вероятность того, что
стремится к нулю при
Это условие записывают в виде
Такое определение сходимости имеет более ограничительный характер, чем предыдущее. В частности, из него следует, что если то вероятность того, что отклонение
больше любой конечной величины, становится все меньше и меньше — обстоятельство, не имевшее места в предыдущем случае. Можно, кроме того, показать, что сходимость по вероятности влечет за собой сходимость в смысле Бернулли, а обратное не имеет места.
Приведем пример, иллюстрируюший это определение и позволяющий представить себе его границы. Рассмотрим еще раз случайную величину
способную с равной вероятностью принимать все значения от
до
и свяжем с ней случайную функцию, определенную при
выражением
где
определенная постоянная. Для некоторого фиксированного частного значения
соответствующая кривая имеет вид, представленный на рис. 9.13»
Рис. 9.13.
При
стремится к очень малым значениям, за исключением все более узких интервалов, содержащих точки, для которых
Если задать
то, не входя в подробности полного расчета, мы увидим, что получить
можно, только если
находится внутри одной из окрестностей таких двух значений
находящихся между
и
что
По виду кривых можно заключить, что эти окрестности тем
чем больше
и могут стать - сколь угодно малыми при условии, что
будет
достаточно велико. Иначе говоря,
Итак, случайная величина
сходится по вероятности при
к определенному числу 0. Рассмотренный пример представляет интерес, так как показывает, что этот род сходимости вовсе не требует, чтобы при каждом испытании имелась сходимость в том смысле, как это понимается в анализе. В частности, из рис. 9.13 видно, что при любом
имеется бесконечное множество значений
для которых
Поэтому ни при каком испытании мы не имеем права сказать, что
стремится к нулю в том смысле, как это понимается в анализе.